б) Представим довольно сложную ситуацию, имеющую место при реальных экспериментах, в виде идеализированной схемы, в общем ей равнозначной. Пусть все мезоны образуются на одной и той же высоте (60 км); пусть все они обладают одинаковой скоростью; пусть они летят вертикально вниз; наконец, пусть ¹/₈ от их общего числа достигает уровня моря, не успев распасться. Вопрос: что может быть причиной такого большого расхождения между предсказанием в п. (а) и приведёнными данными наблюдений? Насколько отличается при этом скорость данных μ-мезонов от скорости света? 1)
1) Существует кинофильм, посвящённый этому эксперименту. См. статью «Измерение релятивистского эффекта замедления хода времени с помощью μ-мезонов», David Н. Frisch, James Н. Smith, American Journal of Physics, 31, 342 (May, 1963). Оригинальный эксперимент был описан в статье В. Rossi, D. В. Hall, Physical Review, 59, 223 (1941).
Решение: Рассматриваемые μ-мезоны летят со скоростью, близкой к скорости света. Поэтому они проходят 60 км примерно за
60⋅10³ м
3⋅10⁸ м/сек
=
2⋅10⁻⁴
сек
.
«Половинное время жизни» (период полураспада) μ-мезонов в той системе отсчёта, где они покоятся, равно 1,6⋅10⁻⁶ сек. Если бы замедления хода времени не было, время полёта мезонов до поверхности Земли равнялось бы 2⋅10⁻⁴/1,6⋅10⁻⁶=133 периодам полураспада. По прошествии каждого периода полураспада число μ-мезонов уменьшается вдвое, так что после 133 периодов должна была бы остаться «в живых» лишь
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
…
=
⎛
⎜
⎝
1
2
⎞¹³³
⎟
⎠
≈
10⁻⁴⁰
часть их первоначального числа. На самом же деле осталось ¹/₈=(¹/₂)³, как показал эксперимент в п. (б). Значит, в системе отсчёта ракеты, в которой μ-мезоны покоятся, прошло время, равное лишь 3 периодам полураспада:
Δ
𝑡'
=
3⋅
(
1,5⋅10⁻⁶
сек
)
⋅
(
3⋅10⁸
м/сек
)
=
=
1,35⋅10³
м
.
Путь, пройденный мезоном в системе, связанной с ним самим, естественно, равен нулю:
Δ𝑥'=0.
Поэтому интервал собственного времени между событием «образование мезонов» и событием «достижение ими поверхности Земли» равен
Δ
τ
=
√
(
Δ
𝑡')²-(
Δ
𝑥')²
=
1,35⋅10³
м
.
Но численное значение этого интервала одинаково как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе самих мезонов; поэтому
Δ
τ
=
√
(
Δ
𝑡)²-(
Δ
𝑥)²
=
1,35⋅10³
м
или
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
Δ𝑥
β
⎞²
⎟
⎠
-
(
Δ
𝑥)²
⎤½
⎥
⎦
=
1,35⋅10³
м
.
(61)
Нам известен тот путь, который прошли мезоны в лабораторной системе отсчёта: Δ𝑥=6⋅10⁴ м. Тогда мы можем найти и скорость β по формуле (61). Возводя обе части этой формулы в квадрат и деля их на (Δ𝑥)², получим
1
β²
-1
=
⎛
⎜
⎝
1,35⋅10³
6⋅10⁴
⎞²
⎟
⎠
,
или
1-β²
β²
=
5,06⋅10⁻⁴
.
Очевидно, что β мало отличается от единицы. Поэтому примем
1-β²
=
(1+β)
(1-β)
≈
2(1-β)
,
откуда
1-β²
β²
≈
2(1-β)
β²
≈
2(1-β)
≈
5⋅10⁻⁴
или
1-β
≈
2,5⋅10⁻⁴
Эта малая величина, стоящая в правой стороне полученного равенства, и определяет отличие скорости μ-мезонов от скорости света.
43. Замедление времени для π⁺-мезона
Как видно из нижеследующей таблицы, в лабораторных условиях гораздо проще исследовать распад π⁺-мезонов, чем μ-мезонов:
Частица
Период полураспада
(
измеренный в системе покоя частицы
)
«
Характерная длина
» (
период полураспада, умноженный на скорость света
)
μ
-мезон
1,5⋅10⁻⁶
сек
450
м
(масса в 207 раз превышает массу электрона)
π
-мезон
18⋅10⁻⁹
сек
5,4
м
(масса в 273 раза превышает массу электрона)
Из данного числа π⁺-мезонов половина распадётся на другие элементарные частицы за 18 наносекунд [1 нсек = 10⁻⁹ сек] (если измерять время в той системе отсчёта, где π⁺-мезоны покоятся). Половина оставшихся распадётся за следующие 18 нсек и т.д. В Пенсильванско-Принстонском протонном синхротроне π⁺-мезоны получают, обстреливая пучком протонов алюминиевую мишень, помещённую внутри ускорителя. Мезоны вылетают тогда из мишени со скоростью, приближающейся к скорости света. Если бы замедления хода времени не было и не было также отсева мезонов из получающегося пучка за счёт столкновений, то чему было бы равно наибольшее расстояние от мишени, на котором половина мезонов оставалась бы ещё не распавшейся? Интересующие нас в данном эксперименте π⁺-мезоны обладают параметром скорости, соответствующим
ch θ
=
1
√1-β²
=
15.
Во сколько раз предсказываемое таким образом расстояние от мишени, на которое мезоны успевают улететь за время полураспада, увеличивается за счёт замедления хода времени, т.е. во сколько раз эффект замедления времени позволяет увеличить расстояние между регистрирующей аппаратурой и мишенью? ▼
44*. Аберрация света звёзд
Наблюдатель, быстро движущийся в один из дней года в некотором данном направлении вместе с планетой, должен, чтобы увидеть четыре далёкие звезды, направить свои телескопы так, как показано на рисунке.
Наблюдатель, быстро движущийся через полгода в противоположном направлении.
Рис. 61. Аберрация света звёзд. На обеих схемах представлена ситуация, наблюдаемая в той системе отсчёта, где Солнце покоится.
Угловое расстояние между одной далёкой звездой (𝐵) и другими далёкими звёздами (𝐴, 𝐶) меняется в зависимости от времени года, так как в течение 6 месяцев Земля изменяет свою скорость на 2⋅30 км/сек = 60 км/сек. Показать, что этот угол аберрации, обозначаемый через φ (по отношению к углам, которые регистрировал бы наблюдатель на Солнце), определяется равенством sin φ=β Здесь β — скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца. Хотя эффект аберрации света звёзд и поддаётся экспериментальному обнаружению, угол аберрации φ настолько мал, что наблюдения не смогли до настоящего времени дать здесь решающего подтверждения приведённой выше релятивистской формулы, так как теория Ньютона даёт очень близкое предсказание, а именно tg φ=β. ▼
