Рис. 55. Изображение симметричного упругого рассеяния в системе отсчёта ракеты (ср. с рис. 53). Была выбрана скорость ракеты, при которой горизонтальные компоненты скоростей частиц после столкновения равны нулю.

Рис. 56. Так рассеяние изображалось бы в системе отсчёта ракеты, если бы частицы 𝐴 и 𝐵 до рассеяния обладали неравными скоростями. (Ошибочное предположение).

Рис. 57. Рисунок 56 (в системе отсчёта ракеты), если его рассматривать на просвет.

Рис. 58. Рисунок 57 (в системе отсчёта ракеты), если поменять местами обозначения 𝐴 и 𝐵 для тождественных частиц.

Заметим теперь, что на рис. 56 и 58 мы имеем две разные начальные ситуации, приведшие к одному и тому же исходу (см. рис. 53). Более того, эти начальные ситуации отличаются друг от друга лишь тем, что путём некоторого увеличения скорости ракеты, с которой проводятся наблюдения, ситуация на рис. 56 переходит в ситуацию на рис. 58. Но результат столкновения, начальная ситуация которого изображена на рис. 56, уже не будет сохранять вида результата столкновения, начавшегося, как на рис. 58, если мы так ускорим движение наблюдателя. Значит, в нашем первоначальном предположении, что рис. 56 и рис. 58 различны, содержится противоречие, и, чтобы его избежать, необходимо признать, что в системе отсчёта ракеты частицы 𝐴 и 𝐵 имели до столкновения одинаковые скорости, как это и изображено на рис. 55.

Но скорости частиц 𝐴 и 𝐵 были попарно равны не только до (и после) столкновения,— величина скорости каждой из них при столкновении вообще не изменилась. Если бы это было не так, то возникла бы следующая трудность. (Третье использование соображений симметрии — теперь уже не симметрии в пространстве, а симметрии во времени!) Снимем кинофильм об этом столкновении частиц, проявим его и отпечатаем, а затем просмотрим в обратном направлении. Если прежде частицы теряли скорость при столкновении, то теперь они будут приобретать её. Такое различие двух направлений течения времени — типичный признак так называемых необратимых процессов, например: 1) переноса тепла от нагретого объекта к охлаждённому; 2) старения живого организма; 3) разбивания яйца или 4) неупругого столкновения. Но ведь мы ограничивались здесь рассмотрением лишь упругих столкновений! Значит, мы должны говорить теперь только о таких процессах, которые являются обратимыми, а обратимость определяется следующим образом:

Обратимым называется такой процесс, в ходе которого оба направления времени невозможно отличить друг от друга, если рассматривать кинохронику этого процесса, пропуская фильм через проектор в любом направлении.

Так как столкновение двух протонов является упругим, все четыре скорости, изображённые на рис. 59, одинаковы.

Рис. 59. Завершение анализа, основанного на соображениях симметрии. В системе отсчёта ракеты, где горизонтальные компоненты скоростей частиц после столкновения равны нулю, абсолютные значения всех скоростей как до, так и после столкновения одинаковы.

Эти выводы весьма просты и ёмки. Всё рассуждение, приводящее к данному заключению, тоже может быть выражено просто и ёмко — тремя словами; «из соображений симметрии». Опираясь подобным образом на соображения симметрии, мы упрощаем исследование громадного множества физических задач.

Пока что наши рассуждения, основывавшиеся на соображениях симметрии, в равной мере относились как к ньютоновской, так и к релятивистской механике. Различия проявляются, когда мы переходим от полностью завершённой диаграммы в системе отсчёта ракеты к исходной диаграмме в лабораторной системе отсчёта. В механике Ньютона сложение скоростей осуществляется по векторному правилу. Поэтому, чтобы найти скорости частиц 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта после столкновения, нам оставалось лишь добавить к горизонтальной компоненте их скоростей скорость движения ракеты β_𝑟 (см. рис. 60). Тогда очевидно, что угол разлёта частиц в механике Ньютона всегда равен 90° — независимо от их скоростей. Но в теории относительности это не так!

Рис. 60. Исследование скоростей частиц в лабораторной системе отсчёта после столкновения в ньютоновской (нерелятивистской) теории.

Покажите, что налетающий протон может обладать скоростями вплоть до β=²/₇, и тем не менее угол между скоростями 𝑣_𝐴 и 𝑣_𝐵 при симметричном рассеянии будет отличаться от 90° (своего значения в теории Ньютона) не более чем на 0,01 рад. Иными словами, покажите, что ньютоновская механика с хорошей точностью описывает столкновение частицы, летящей со скоростью (²/₇)𝑐, с покоящейся частицей (или столкновение двух частиц, летящих со скоростями (²/₇)𝑐 каждая). При этом вам могут пригодиться выводы из упражнения 20. ▼

41*. Примеры предельных переходов к механике Ньютона

Примем в качестве приблизительного верхнего предела применимости механики Ньютона скорость частиц β=¹/₇ (см. упражнение 39). Заполните клетки в нижеследующей таблице по аналогии с верхней графой, которую мы уже заполнили.

Пример движения

β

Корректно ли в этом примере использование механики Ньютона

?

Спутник, обращающийся вокруг Земли со скоростью 30 000

км/час

1/36 000

Да, так как

β<1/7

Земля, обращающаяся вокруг Солнца по орбите со скоростью 30

км/сек

Электрон, обращающийся вокруг протона (атом водорода) по орбите с минимальным радиусом. (Указание. Скорость электрона при его движении на основной орбите атома с атомным номером 𝑍, где 𝑍 — число протонов в ядре, выведена для случая малых скоростей в упражнении 101 гл. 2 и равна

𝑣

=

𝑍

137

⋅

𝑐;

для водорода 𝑍=1).

Электрон на основной орбите атома золота

𝑍=79

Электрон, движущийся с кинетической энергией 5000

эв

. (

Указание

: 1 эв =

1,6⋅10⁻¹⁹

дж

. Проведите оценку, исходя из ньютоновского выражения для кинетической энергии).

Протон или нейтрон, движущийся с кинетической энергией 10

Мэв

(миллионов электронвольт) в атомном ядре

▼

Е. ФИЗИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ. НОВЫЕ ФАКТЫ

42. Замедление времени для μ-мезона — подробный пример

Мю-мезоны (μ-мезоны) — элементарные частицы, образующиеся при некоторых ядерных реакциях. Если взять некоторое число этих мезонов, то через 1,5 микросекунды (мксек) (время измеряется в той системе отсчёта, в которой μ-мезоны покоятся) половина из них распадается на другие элементарные частицы. Половина оставшихся μ-мезонов распадается в следующие 1,5 мксек и т.д.

а) Рассмотрим (μ-мезоны, образовавшиеся при бомбардировке атомных ядер атмосферных газов космическими лучами на высоте 60 км над поверхностью Земли. Пусть эти μ-мезоны летят вертикально вниз со скоростью, близкой к скорости света. Приблизительно за сколько времени они достигнут поверхности Земли (время измеряется наблюдателем, покоящимся относительно Земли)? В случае если бы не происходило замедления хода времени, какая (приблизительно) часть общего числа мезонов, образовавшихся на высоте 60 км, достигла бы поверхности Земли, ещё не претерпев распада?