𝑥
=
𝑥'ch θ
𝑟
+
𝑡'sh θ
𝑟
,
𝑡
=
𝑥'sh θ
𝑟
+
𝑡'ch θ
𝑟
,
(36)
то какие формулы будут служить для обратного перехода от лабораторных к ракетным данным? Ответ: преобразование Лоренца, обратное преобразованию (36), задаётся формулами
𝑥'
=
𝑥ch θ
𝑟
-
𝑡sh θ
𝑟
,
𝑡'
=-
𝑥sh θ
𝑟
-
𝑡ch θ
𝑟
.
(37)
Доказательство. Подставьте последние выражения для 𝑥' и 𝑡' в формулы (36) и покажите, что получаются тождества (т.е. если перевести английское слово на турецкий язык, а затем снова на английский, то мы снова придём к исходному слову, если только каждый из словарей действительно является обратным по отношению к другому!).
В табл. 8 формальные определения гиперболических функций и некоторые соотношения для них записаны параллельно аналогичным определениям и соотношениям для тригонометрических функций. Здесь через 𝑒 обозначено основание натуральных логарифмов, численно равное 2,718281…, а через 𝑖 обозначен квадратный корень из минус единицы (мнимая единица), так что 𝑖²=-1. Обычные правила сложения и умножения экспонент справедливы и для экспонент, содержащих 𝑖. Угол θ берётся в обычных или гиперболических радианах, но не в градусах. Выражения типа 4! обозначают факториал; так, «четыре факториал» =4!=4×3×2×1=24. Чтобы разобраться в этих соотношениях, получите равенства 7—13 из определений 1—6 на обеих сторонах таблицы и качественно покажите, как из них вытекают графики на рис. 32 и 33. Особо отметьте различия в знаках в левой и правой сторонах таблицы.
Таблица 8.
Тригонометрические и гиперболические функции
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Тригонометрические функции
Гиперболические функции
1.
sin θ
=
𝑒𝑖θ-𝑒-𝑖θ
2𝑖
1.
sh θ
=
𝑒θ-𝑒-θ
2
2.
cos θ
=
𝑒𝑖θ+𝑒-𝑖θ
2𝑖
2.
ch θ
=
𝑒θ+𝑒-θ
2
3.
tg θ
=
sin θ
cos θ
3.
th θ
=
sh θ
ch θ
4.
sin θ
=
θ
-
θ³
3!
+
θ⁵
5!
-
θ⁷
7!
+…
4.
sh θ
=
θ
+
θ³
3!
+
θ⁵
5!
+
θ⁷
7!
+…
5.
cos θ
=
1
-
θ²
2!
+
θ⁴
4!
-
θ⁶
6!
+…
5.
ch θ
=
1
+
θ²
2!
+
θ⁴
4!
+
θ⁶
6!
+…
6.
tg θ
=
θ
+
θ³
3
+
2
15
θ⁵+…
6.
th θ
=
θ
-
θ³
3
+
2
15
θ⁵-…
СООТНОШЕНИЯ
7.
sin(-θ)
=-
sin(θ)
7.
sh(-θ)
=-
sh(θ)
8.
cos(-θ)
=
cos(θ)
8.
ch(-θ)
=
ch(θ)
9.
tg(-θ)
=-
tg(θ)
9.
th(-θ)
=-
th(θ)
10.
cos²θ
+
sin²θ
=1
10.
ch²θ
+
sh²θ
=1
11.
sin(θ₁+θ₂)
=
sin θ₁
cos θ₂
+
+
cos θ₁
sin θ₂
11.
sh(θ₁+θ₂)
=
sh θ₁
ch θ₂
+
+
ch θ₁
sh θ₂
12.
cos(θ₁+θ₂)
=
cos θ₁
cos θ₂
-
-
sin θ₁
sin θ₂
12.
ch(θ₁+θ₂)
=
ch θ₁
ch θ₂
-
-
sh θ₁
sh θ₂
13.
tg(θ₁+θ₂)
=
tg θ₁+tg θ₂
1-tg θ₁tg θ₂
13.
th(θ₁+θ₂)
=
th θ₁+th θ₂
1-th θ₁th θ₂
СПОСОБЫ БЫСТРОЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПРОСТЫХ СМЕРТНЫХ
При малых
θ
При малых
θ
sin θ≈θ
sh θ≈θ
tg θ≈θ
th θ≈θ
Пример
:
θ=0,1
Пример
:
θ=0,1
Быстрая оценка:
Быстрая оценка:
sin θ≈0,1
sh θ≈0,1
tg θ≈0,1
th θ≈0,1
Точные значения:
Точные значения:
sin θ=0,0998
sh θ=0,1002
tg θ=0,1003
th θ=0,0997
При больших
θ
sh θ≈𝑒
θ
/2
ch θ≈𝑒
θ
/2
Пример
:
θ=3, 𝑒
θ
≈20.
Быстрая оценка:
sh θ≈10
th θ≈10
Точные значения:
sh θ=10,018
th θ=10,068
