𝑟
=
1
1-th²θ𝑟
-
th²θ𝑟
1-th²θ𝑟
=
=
1-th²θ𝑟
1-th²θ𝑟
=
1.
(34)
Сопоставьте эту формулу с аналогичным соотношением для тригонометрических функций:
cos²(угол)
+
sin²(угол)
=
1.
(35)
Сравнение тригонометрических и гиперболических функций1)
1 Авторы здесь и в других местах вместо термина «тригонометрический» говорят «круговой». Действительно, тригонометрические функции, как это видно из дальнейшего обсуждения, тесно связаны с простейшей кривой второго порядка — окружностью, тогда как гиперболические функции связаны со свойствами другой кривой второго порядка, гиперболы. Поэтому между ними много общего. Однако в переводе мы пользуемся более принятым в отечественной литературе термином «тригонометрический».— Прим. перев.
Уравнения (34) и (35) допускают простую геометрическую интерпретацию. Отложим на рис. 32 по вертикальной оси функцию «косинус», а по горизонтальной оси — функцию «синус» (одного и того же аргумента). Уравнение (35) тогда описывает окружность единичного радиуса, и поэтому тригонометрические функции можно называть «круговыми». Напротив, уравнение (34) описывает при аналогичном построении гиперболу (рис. 33), и поэтому мы говорим о «гиперболических функциях». Знак «плюс» в соотношении cos²α+sin²α=1 происходит от того, что для получения квадрата длины вектора нужно сложить его 𝑥- и 𝑦- компоненты, возведённые в квадрат. Почему же в соотношении ch²α-sh²α=1 фигурирует знак «минус»? Потому, что квадрат пространственно-временного интервала определяется как разность квадратов удалённостей событий во времени и в пространстве.
Рис. 32. Тригонометрические функции: график связи между косинусом и синусом — окружность. Пример: (3/5)²+(4/5)²=1
Рис. 33. Гиперболические функции: график связи между гиперболическими косинусом и синусом — гипербола. Пример: (5/3)²-(4/3)²=1
Проверка того факта, что преобразование поворота в эвклидовой геометрии оставляет неизменной длину
Разные знаки в соотношениях cos²α+sin²α=1 и ch²θ-sh²θ=1 связаны с различием между понятиями длины в эвклидовой геометрии и интервала в лоренцевой геометрии. Рассмотрим по очереди более подробно и ту и другую геометрии с этой точки зрения. Удостоверимся вновь в том факте, что в эвклидовой геометрии ковариантное преобразование координат (29), выраженное теперь не через величину наклона, а через тригонометрические функции, обеспечивает выполнение инвариантности длины. Для этого вычислим в штрихованных координатах квадрат длины:
(Длина)
²
=
(
Δ
𝑥)²
+
(
Δ
𝑦)²
=
=
(
Δ
𝑥'
cos θ
𝑟
+
Δ
𝑦'
sin θ
𝑟
)²
+
(-
Δ
𝑥'
sin θ
𝑟
+
Δ
𝑦'
cos θ
𝑟
)²
=
=
(
Δ
𝑥')²
cos²θ
𝑟
+
2(
Δ
𝑥')(
Δ
𝑦')cos θ
𝑟
sin θ
𝑟
+
(
Δ
𝑦')²
sin²θ
𝑟
+
+
(
Δ
𝑥')²
sin²θ
𝑟
-
2(
Δ
𝑥')(
Δ
𝑦')sin θ
𝑟
cos θ
𝑟
+
(
Δ
𝑦')²
cos²θ
𝑟
=
=
[(
Δ
𝑥')²
+
(
Δ
𝑦')²]
⋅
(sin²θ
𝑟
+
cos²θ
𝑟
)
=
=
(
Δ
𝑥')²
+
(
Δ
𝑦')²
(подчёркнутые члены сокращаются).
Тем самым мы провели инвариантность выражения для длины. Отметим, что соотношение
cos²θ
𝑟
+
sin²θ
𝑟
=
1
играет важную роль, связывая понятия ковариантности (преобразование координат, сводящееся к изменению ориентаций координатных осей) и инвариантности (неизменность длины при переходах между системами координат).
Проверка того факта, что преобразование Лоренца оставляет неизменным интервал
Ясно, что связь между ковариантностью и инвариантностью в лоренцевой геометрии основывается на соотношении
ch²θ
𝑟
-
sh²θ
𝑟
=
1.
Это видно из вычисления квадрата интервала (как пространственноподобного, так и временноподобного) в штрихованных координатах:
⎛
⎜
⎜
⎝
Интервал
собственной
длины
⎞²
⎟
⎟
⎠
=-
⎛
⎜
⎜
⎝
Интервал
собственного
времени
⎞²
⎟
⎟
⎠
=
=
⎛
⎜
⎝
Удалённость
в пространстве
⎞²
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎝
Удалённость
во времени
⎞²
⎟
⎠
=
=
(
Δ
𝑥)²
-
(
Δ
𝑡)²
=
=
(
Δ
𝑥'
ch θ
𝑟
+
Δ
𝑡'
sh θ
𝑟
)²
-
(
Δ
𝑥'
sh θ
𝑟
+
Δ
𝑡'
cos θ
𝑟
)²
=
=
(
Δ
𝑥')²
ch²θ
𝑟
+
2(
Δ
𝑥')(
Δ
𝑦')ch θ
𝑟
sh θ
𝑟
+
(
Δ
𝑡')²
sh²θ
𝑟
-
-[
(
Δ
𝑥')²
sh²θ
𝑟
-
2(
Δ
𝑥')(
Δ
𝑦')sh θ
𝑟
ch θ
𝑟
+
(
Δ
𝑡')²
ch²θ
𝑟
]=
=
[(
Δ
𝑥')²
-
(
Δ
𝑡')²]
⋅
(ch²θ
𝑟
-
sh²θ
𝑟
)
=
=
(
Δ
𝑥')²
-
(
Δ
𝑡')²
.
Так мы вновь проверили (простейшим возможным способом) тот факт, что преобразование Лоренца оставляет неизменным выражение для интервала.
Обратное преобразование Лоренца
Как мы уже вполне убедились, преобразование Лоренца служит для перевода информации с языка системы координат ракеты (𝑥', 𝑡') на язык лабораторной системы координат (𝑥, 𝑡). Кроме того, этот «словарь» во всех отношениях согласуется с универсальным языком интервалов (непротиворечивость ковариантного и инвариантного описаний в физике пространства-времени). Но мы нуждаемся в большем — ведь турецко-английский словарь можно купить в одном переплёте с англо-турецким. Так где же этот второй «словарь теории относительности»? Как совершить обратный переход от 𝑥 и 𝑡 к 𝑥' и 𝑡'? Если первый словарь соответствовал формулам
