Δ
𝑥
=
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑥'
+
𝑆
𝑟
•
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑦'
,
Δ
𝑦
=-
𝑆
𝑟
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑥'
+
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑦'
,
менее сложной, если выразить относительный наклон 𝑆𝑟 осей 𝑦 и 𝑦' через обычный угол θ𝑟? Ответ: коэффициенты в преобразовании поворота принимают вид
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
=
(1+tg²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
=
=
⎛
⎜
⎝
cos²θ𝑟+sin²θ𝑟
cos²θ𝑟
⎞
⎟
⎠
⁻¹/²
=
⎛
⎜
⎝
1
cos²θ𝑟
⎞
⎟
⎠
⁻¹/²
=
cos θ
𝑟
.
и
𝑆
𝑟
(1+𝑆
𝑟
²)⁻¹
/
²
=
tg θ
𝑟
•
cos θ
𝑟
=
=
sin θ𝑟
cos θ𝑟
=
sin θ
𝑟
.
Поэтому формулы преобразования переходят в
Δ
𝑥
=
Δ
𝑥'
•
cos θ
𝑟
+
Δ
𝑦'
•
sin θ
𝑟
,
Δ
𝑦
=-
Δ
𝑥'
•
sin θ
𝑟
+
Δ
𝑦'
•
cos θ
𝑟
,
(29)
и мы можем заключить, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наипростейший вид, если коэффициенты в ковариантных преобразованиях выразить через «тригонометрические», или «круговые», функции угла поворота.
Упрощение формул преобразования Лоренца путём введения параметра скорости
Обратимся теперь к формулам преобразования Лоренца, записанным через относительную скорость:
Δ
𝑥
=
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑥'
+
β
𝑟
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑡'
,
Δ
𝑡
=
β
𝑟
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑥'
+
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
Δ
𝑡'
.
Как станет выглядеть эта пара уравнений, если мы выразим в ней скорость β𝑟 через «улучшенную» характеристику движения θ𝑟? Ответ таков. Вспомним, что скорость и параметр скорости связаны между собой соотношением
β
𝑟
=
th θ
𝑟
.
Отметим, что коэффициенты в формулах преобразования Лоренца зависят от β𝑟 и тем самым от θ𝑟. Эти коэффициенты равны
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
=
(1-th²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
(30)
и
β
𝑟
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
=
th θ
𝑟
•
(1-th²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
.
(31)
Полученные выражения на первый взгляд довольно сложны. Тем не менее они вполне определённы. Мы знаем, как найти величину th θ𝑟 для любого заданного значения θ𝑟 (см. рис. 31 и сопровождающие его рассуждения). Знание величины th θ𝑟 позволяет нам вычислить выражения (30) и (31) с любой желаемой степенью точности для любого наперёд заданного значения параметра скорости. Эти две функции θ𝑟 настолько важны, что каждая из них получила своё собственное название в теории гиперболических функций. Если мы примем стандартные названия для этих функций, то это никоим образом не повлияет на наши возможности определять величины этих функций в любом интересующем нас случае без использования каких-либо руководств или справочников, своими собственными силами. Поэтому мы примем и будем в дальнейшем употреблять следующие стандартные названия:
(1-th²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
=
ch θ
𝑟
=
=
(Косинус гиперболический
θ
𝑟
),
th θ
𝑟
•
(1-th²θ
𝑟
)⁻¹
/
²
=
sh θ
𝑟
=
=
(Синус гиперболический
θ
𝑟
),
Это названия, и не более чем названия! Используя их, мы найдём, что формулы преобразования Лоренца принимают вид
Δ
𝑥
=
Δ
𝑥'
•
ch θ
𝑟
+
Δ
𝑡'
•
sh θ
𝑟
,
Δ
𝑡
=
Δ
𝑥'
•
sh θ
𝑟
+
Δ
𝑡'
•
ch θ
𝑟
.
(32)
Преобразование Лоренца, выраженное через параметр скорости
Отсюда мы заключаем, что связь между старыми и новыми координатами приобретает наиболее простой вид, когда коэффициенты преобразования выражаются как гиперболические функции параметра относительного движения θ𝑟 систем отсчёта. Более того, будучи выражены с помощью гиперболических синуса и косинуса, формулы преобразования Лоренца ещё больше, чем ранее, напоминают стандартный тригонометрический вид (29) формул преобразования поворота.
Как можно лучше уяснить себе и прочувствовать свойства фигурирующих в преобразовании Лоренца гиперболических функций? Два самых интересных и существенных их свойства вытекают непосредственно из определений (30) и (31). Во-первых, отношение
sh θ𝑟
cs θ𝑟
=
th θ
𝑟
(33)
совершенно аналогично соответствующему отношению для тригонометрических функций. Во-вторых, разность квадратов двух гиперболических функций равна
ch²θ
𝑟
-
sh²θ
