th 0,01

=

0,01

в качестве первого шага для построения таблицы тангенса гиперболического.

2) Следующий шаг состоит в использовании закона сложения (27):

th 0,02

=

th (0,01+0,01)

=

=

th 0,01+th 0,01

1+th 0,01⋅th 0,01

=

0,01+0,01

1+0,0001

.

(28)

3) На этом этапе следует условиться о том, с какой степенью точности мы будем брать численные значения. Почему бы, например, не принять th 0,02 равным 0,02 точно так же, как мы приняли th 0,01 равным th 0,01? Однако в знаменателе формулы (28) стоит слагаемое 0,0001! Его наличие означает, что число 0,02 отличается от величины th 0,02 приблизительно на 1:10⁴. Условимся же теперь вычислять все значения th θ с точностью до 1:10⁴. Поэтому нам потребуется учесть поправку 0,0001, стоящую в знаменателе. Но если нам понадобилось учитывать такую поправку при вычислении th 0,02, почему бы не учесть её и в th 0,01? Потому что там она была бы ещё меньше. Иными словами, разница между th 0,01 и 0,01 равна величине, которой можно пренебречь, если условиться брать результаты с точностью лишь до 1:10⁴. С этой точностью мы получим в конце концов

th 0,02

=

0,020000

1,0001

=

0,019998

.

4) Найдём теперь значение th 0,04:

th 0,04

=

th (0,02+0,02)

=

=

th 0,02+th 0,02

1+th 0,02⋅th 0,02

=

2•0,019998

1+(0,019998)²

=

=

0,039980

.

Поправка в знаменателе изменяет теперь численную величину результата примерно на 4:10⁴. Тем не менее этот результат верен с точностью около 1:10⁴. Он получен на основании точной формулы (27) в применении к значениям гиперболического тангенса, которые сами были верны с точностью 1:10⁴.

5) Дальнейшие шаги при построении таблицы значений гиперболического тангенса аналогичны предыдущим. Так, зная th 0,04 и th 0,01, мы можем вычислить th 0,05=(th 0,04+0,01). Мы получим далее th 0,1; th 0,2 и th 0,4, а затем th 0,5=(th 0,4+0,1). Аналогично мы вычислим th 1, th 2 и все прочие значения th θ, которые нам потребуются. Так мы получим результаты, подытоженные на рис. 31.

Рис. 31. Связь между параметром скорости θ и самой скоростью β=th θ, получаемая непосредственно из закона сложения th(θ₁+θ₂) =

θ₁+θ₂

1+θ₁•θ₂

как это описано в тексте. Например, пусть пуля выпускается со скоростью β'=0,75 из ракеты, движущейся со скоростью β_𝑟=0,75. Требуется найти скорость пули β относительно лабораторной системы. Мы знаем, что аддитивны не скорости, а параметры скорости. По графику для точки 𝐴 находим θ'=θ_𝑟=0,973. Сложение даёт θ=θ'+θ_𝑟=1,946. Для этого значения параметра скорости находим по графику точку 𝐵 и величину скорости β=0,96. Тот же результат получен другим способом в тексте (стр. 68).

Различие между параметром скорости и обычным углом

Из рис. 31 сразу же видны два свойства параметра скорости, никак не связанные с конкретным выбором чисел. Во-первых, наклон кривой функции th θ относительно θ стремится к единице при малых θ. Это — новое выражение того факта, что скорость β=th θ и параметр скорости θ стремятся друг к другу при стремлении θ→0. Во-вторых, когда параметр скорости стремится к бесконечно большим положительным (или отрицательным) значениям, то скорость β=th θ стремится к плюс (или минус) единице. Другими словами, допустимы любые значения параметра скорости на всём интервале значений от θ→-∞ и до θ→+∞. Различие между «гиперболическими углами» или параметром скорости, область изменения которого неограниченна, и обычными углами очевидно. Обычный угол не приводит ни к чему новому, когда он превысит конечный интервал от 0 до 2π радиан.

Параметр скорости и постоянство скорости света

Как связаны представления о параметре скорости и о законе сложения скоростей с тем элементарным физическим опытным фактом, который привёл физику к пространственно-временной точке зрения? Вот самая непосредственная из возможных связей. Из результатов наблюдений и всего того, что уже в 1905 г. было известно об электромагнитных волнах, Эйнштейн был вынужден заключить, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Это же можно сказать иначе, переводя на язык мысленных опытов: фотон, выстреленный со скоростью света из быстро движущейся ракеты, движется относительно лаборатории со скоростью, равной всё той же скорости света.

На языке параметра скорости можно сказать, что ракета обладает конечным параметром скорости θ_𝑟, тогда как величина параметра скорости фотона (β=1) бесконечна (θ'=∞; см. асимптотическую часть кривой в верхней правой части рис. 31). Прибавьте к бесконечности конечное число, и вы получите снова бесконечность в качестве суммы θ=θ'+θ_𝑟. Поэтому скорость фотона в лабораторной системе отсчёта равна β=th θ=th ∞=1, т.е. это снова скорость света. Мы замкнули круг, вновь вернувшись к идее, лежащей в основании теории относительности: скорость света имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта.

Простота описания движения с помощью параметра скорости

Мы пришли к заключению, что естественной характеристикой движения является параметр скорости, подчиняющийся простому закону сложения: θ=θ'+θ_𝑟. Но почему же наша интуиция не подсказала нам сразу идеи введения этого параметра? Почему гиперболические углы не знакомы всякому школьнику так же хорошо, как обычные углы? Ответ ка это прост. Обыденный опыт сталкивает нас со всякими углами — и большими, и малыми. Поэтому не найдётся простачка, который стал бы, складывая наклоны 𝑆'=1 (угол в 45°) и 𝑆_𝑟=1 (ещё раз 45°), утверждать, что он получит наклон, равный 𝑆=𝑆'+𝑆_𝑟=2 (т.е. угол в 63°26', что неверно!). Все знают, что правильный путь — это складывать углы (сумма в нашем примере равна 45°+ 45°=90°, чему соответствует наклон 𝑆=∞). Но обыденный опыт не сталкивает нас со скоростями, близкими к скорости света. Автомобили, реальные ракеты и реальные пули движутся со скоростями, крайне малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому и потребовалось долгое время, пока люди не узнали истинной физики пространства-времени. Но теперь, наконец, мы поняли разницу природы закона сложения скоростей [громоздкое уравнение (24)] и закона сложения параметров скорости [простое уравнение (21): θ=θ'+θ_𝑟]. Более того, те наблюдения, которые прежде обескураживали (например, равенство величины скорости света во всех системах отсчёта), стали описываться очень просто на языке параметра скорости. К тому же этот параметр, как и всё, что входит вместе с ним в пространственно-временную структуру физики, совершенно необходим. Если вы хотите описать природу физического мира такой, какая она на самом деле у этого четырёхмерного мира, то у вас нет никакого другого выбора, кроме описанных выше идей. Эта железная необходимость становится всё очевиднее по мере того, как в обиход нашей цивилизации, нашей индустрии входят электронные и ядерные установки, а вместе с ними — сверхбыстрые частицы.

Обходного пути нет! Параметр скорости — такой же простой способ для описания скорости движения, как обычный угол — для описания наклона. Но, согласившись с этим выводом, какую выгоду извлечём мы, пытаясь упростить формулы преобразования Лоренца?

У прощение эвклидова преобразования поворота путём введения угла

Для того чтобы сориентироваться в этом вопросе, рассмотрим сначала аналогичную задачу в эвклидовой геометрии на плоскости 𝑥𝑦. Станет ли формула (19), выражающая одну систему координат через другую,