⎜

⎜

⎝

Метр времени 𝑡',

прошедший

по часам

на ракете

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

=

Δ𝑥'

Δ𝑡'

.

Относительно лаборатории ракета движется со скоростью β_𝑟. Чему равна скорость β пули относительно лаборатории, измеренная по решётке часов лабораторной системы отсчёта? Ответ: эта скорость равна

β

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Число метров,

пройденных в

направлении оси 𝑥

за каждый

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Метр времени 𝑡,

прошедший

по часам

в лаборатории

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

=

Δ𝑥

Δ𝑡

=

[преобразование Лоренца; формулы (16)]

=

(1-β_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑥'+β_𝑟(1-β_𝑟²)⁻¹^/²•Δ𝑡'

β_𝑟(1-β_𝑟²)⁻¹^/²Δ𝑥'+(1-β_𝑟²)⁻¹^/²•Δ𝑡'

=

[в числителе и знаменателе произведено

сокращение на множитель

(1-β

_𝑟

²)⁻¹

^/

²

]

=

Δ𝑥'+β_𝑟Δ𝑡'

β_𝑟Δ𝑥'+Δ𝑡'

=

числитель и знаменатель

разделены на

Δ

𝑡'

)

=

(Δ𝑥'/Δ𝑡')+β_𝑟

β_𝑟(Δ𝑥'/Δ𝑡')+1

.

Окончательно

β

=

β'+β_𝑟

1+β'β_𝑟

(24)

(закон сложения скоростей). Иными словами, скорости не аддитивны. Лишь в предельном случае, когда скорости малы, две скорости β' и β_𝑟 могут рассматриваться как аддитивные (с определённой степенью точности), если в знаменателе закона (24) произведением β'β_𝑟 можно пренебречь по сравнению с единицей (с той же самой степенью точности, например 1:10 или 1:10⁶). Пример неаддитивности скоростей: пусть в момент выстрела ракета обладает скоростью, равной ¾ скорости света; пусть пуля движется относительно ракеты со скоростью, равной ¾ скорости света. Чему будет равна скорость пули относительно лаборатории? Ответ: не ¾+¾=1,5 скорости света, а

β

=

¾+¾

1+(¾)•(¾)

=

³/₂

²⁵/₁₆

=

24

25

=

0,96

(в метрах лабораторного расстояния за метр светового времени по лабораторным часам). Таким образом, релятивистский закон сложения скоростей (24) гарантирует, что никакой объект не может быть приведён в движение со скоростью света.

Определим параметр скорости таким образом, чтобы он был аддитивным!

Выяснив, что скорость сама по себе не аддитивна, мы предлагаем найти новую меру движения —«параметр скорости» θ, который должен быть аддитивным, т.е.

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Параметр

скорости пули

относительно

лаборатории

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Параметр

скорости пули

относительно

ракеты

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

Параметр

скорости ракеты

относительно

лаборатории

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

или

θ

=

θ'

+

θ

_𝑟

.

(25)

Смысл этого параметра θ будет совершенно иным, чем смысл угла, описывающего поворот. Ни ка какой диаграмме параметр скорости нельзя изобразить в виде обычного угла, и вот по какой простой причине. Расстояния между точками на листе бумаги подчиняются законам эвклидовой геометрии. Напротив, интервалы между событиями в физическом мире определяются лоренцевой геометрией пространства-времени. Но если невозможно запечатлеть движущиеся пули и идущие часы на листе бумаги, то это никоим образом не лишает реальности указанные функционирующие объекты. Так и невозможность изобразить на листе бумаги аддитивность параметра скорости θ не сможет нас смутить, но скорее заставит взглянуть на действительный мир быстрых частиц и физики высокой энергии с тем, чтобы увидеть там активное проявление закона сложения параметра скорости. Этот закон сложения параметра скорости, θ=θ'+θ_𝑟, во всех отношениях столь же реален, как и закон сложения углов поворота.

Скорость равна тангенсу гиперболическому от параметра скорости

Как же связаны между собой скорость β и параметр скорости θ? Соответствующая формула аналогична формуле, выражающей связь между наклоном и углом наклона (через тангенс угла), и имеет вид

β

=

th θ

.

(26)

Обозначение th означает «тангенс гиперболический». Функция гиперболического тангенса, как и гиперболических синуса и косинуса (sh θ и ch θ), причём th θ=sh θ/ch θ, обычны в математическом анализе. Таблицы всех этих трёх функций можно найти в любом хорошем математическом справочнике. Их формальное определение дано в табл. 8. Тем не менее нам нет необходимости обращаться к этой таблице и к справочникам; ведь всё, что нам требуется знать о функции th θ, можно без труда получить уже из её определения. А определяется она следующими двумя свойствами:

а) Эта функция должна правильно описывать закон сложения скоростей. Тогда из соотношения

β

=

β'+β_𝑟

1+β'β_𝑟

и требования аддитивности θ=θ'+θ_𝑟 мы получаем закон сложения

th θ

=

th(θ'+θ

_𝑟

)

=

th θ+th θ_𝑟

1+th θ'•th θ_𝑟

(27)

[см. определение (26)].

б) При малых скоростях параметр θ должен переходить в обычную характеристику движения — скорость β. Это требование означает, что функция th θ должна становиться сколь угодно близка к θ при стремлении θ к нулю. Вспомним, что обычный тангенс обычного угла стремится по величине к этому углу в пределе малых углов, если углы измеряются в радианах. Если измерять углы в градусах, то следует ввести поправочный множитель π/180°. Здесь подобным же образом было бы можно измерять параметр скорости и в единицах, аналогичных градусам и минутам, но проще всего те единицы, при которых

th θ

—⟶

малые θ

θ.

Назовём эти единицы «гиперболическими радианами»; они безразмерны.

Как можно найти связь между параметром скорости и скоростью из свойств (а) (аддитивность) и (б) (равенство th θ=θ для малых значений параметра скорости)?

Построение таблицы для тангенса гиперболического

Ответ. 1) Начнём со столь малого параметра скорости θ, что его th θ может быть приравнен θ с требуемой степенью точности. Примем, например,