Упражнения к главе 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Можно без труда проанализировать важные направления современных исследований, если опираться на теорию относительности. Такой анализ решающим образом зависит от физической интуиции, которая развивается на основе опыта. Опыт же не может быть теперь приобретён в лаборатории, так как даже простые эксперименты по теории относительности очень сложны и дороги ввиду громадной величины скорости света. Альтернативой этим простым экспериментам должны послужить следующие упражнения, в которых обсуждаются разнообразные следствия структуры пространства-времени. Эта структура вновь и вновь проявляется, когда мы обсуждаем разные вопросы:

парадоксы;

загадки;

выводы соотношений;

практические приложения;

оценки эффектов;

их точный расчёт;

трудности интерпретации.

Эта глава содержит все необходимые формальные данные для того, чтобы найти ответ в каждом упражнении, однако лучший путь развития интуиции (практического понимания явлений) — это работа без поспешности. Поэтому вы убедитесь, что лучше всего продолжать возвращаться к этим упражнениям, даже когда эта книга будет для вас пройденным этапом. Те, кто хочет пройти основной материал за возможно кратчайшее время, могут ограничиться упражнениями, названия которых напечатаны курсивом в помещённом ниже списке.

Математические преобразования при решении этих упражнений очень кратки, и лишь немногие расчёты займут в записи более пяти строк. Но с другой стороны, упражнения потребуют времени на «разжёвывание». Меньше всего времени отнимут упражнения, не помеченные звёздочкой; труднее упражнения с одной звёздочкой; упражнения же, помеченные двумя звёздочками, предназначены для студентов старших курсов и аспирантов.

Основное правило Уилера. Никогда не начинай вычислений, пока не знаешь ответа. Каждому вычислению предпосылай оценочный расчёт; привлеки простые физические соображения (симметрию! инвариантность! сохранение!) до того, как начинать подробный вывод; продумай возможные ответы на каждую загадку. Будь смелее, ведь никому нет дела до того, что именно ты предположил. Поэтому делай предположения быстро, интуитивно. Удачные предположения укрепляют эту интуицию. Ошибочные предположения дают полезную встряску. Во всяком случае жизнь как практическая проверка пространственно-временны'х идей оказывается наиболее забавной шуткой, хотя и достаточно продолжительной!

A. Интервал пространства-времени (разд. 5—7)

1. Пространство и время—подробный пример

2. Практическая синхронизация часов

3. Соотношения между событиями

4. Одновременность

5. Временно'й порядок событий

6*. Расширяющаяся Вселенная

7. Собственное время и связь

8. Время на сбор информации и на принятие решения

Б. Преобразование Лоренца (разд. 8 и 9)

9. Лоренцево сокращение — подробный пример

10. Замедление хода часов

11. Относительная синхронизация часов

12. Эвклидовы аналогии

13. Лоренцево сокращение. II

14. Замедление хода часов. II

15. Формулы преобразования Лоренца со временем в секундах

16*. Вывод формул преобразования Лоренца

17*. Собственная длина и собственное время

18*. Плоскость обоюдного согласия

19*. Преобразование углов

20*. Преобразование скорости вдоль оси 𝑦

21**. Преобразование направлений скоростей

22**. Эффект «прожектора»

B. Загадки и парадоксы

23. Парадокс эйнштейновского поезда — подробный пример

24. Загадка Эйнштейна

25*. Парадокс шеста и сарая

26**. Война в космосе

27*. Парадокс часов

28*. Предметы, движущиеся быстрее света

Г. Основания теории

29. Синхронизация движущимися часами — подробный пример

30. Конструкция часов и замедление их хода

31. Инерциальные системы отсчёта, связанные с Землёй

32*. Размеры инерциальной системы

33*. Опыт Майкельсона — Морли

34*. Эксперимент Кеннеди — Торндайка

35*. Эксперимент Дикке

36*. Долой теорию относительности!

Д. Приближение малых скоростей

37. Эвклидова аналогия — подробный пример

38. Преобразование Галилея

39*. Пределы применимости преобразования Галилея

40*. Столкновения в теории Ньютона и в теории относительности. Область, в которой обе теории совпадают друг с другом с точностью до 1%

41*. Примеры предельных переходов к механике Ньютона

Е. Физика пространства-времени. Новые факты

42. Замедление времени для μ-мезона — подробный пример

43. Замедление времени для π⁺-мезона

44*. Аберрация света звёзд

45. Опыт Физо

46. Черенковское излучение

47*. Искривление лучей света звёзд Солнцем

Ж. Геометрическое истолкование

48. Геометрическое истолкование

49. Парадокс часов. II — подробный пример

З. Винегрет

50. Сокращение или поворот?

51**. Парадокс часов. III

52*. Наклонный стержень

53*. Парадокс метрового стержня

54**. Тонкий человек на решётке

А. ИНТЕРВАЛ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ (РАЗД. 5-7)

1. Пространство и время — подробный пример

Два события происходят в лабораторной системе отсчёта в одном и том же месте, но отстоят во времени на 3 сек.

а) Чему равно расстояние в пространстве между этими событиями в системе отсчёта ракеты, если промежуток времени между событиями равен в ней 5 сек?

б) Чему равна скорость β_𝑟 ракеты относительно лабораторной системы отсчёта?

Решение

а) Интервал пространства времени между этими двумя событиями имеет одну и ту же величину в обеих системах отсчёта:

(

Δ

𝑡)²

-

(

Δ

𝑥)²

=

(

Δ

𝑡')²

-

(

Δ

𝑥')²

.

Запишем содержание задачи так:

Δ𝑥 = 0,

Δ𝑡 = 3(сек) × 𝑐 (м/сек) = 9⋅10⁸ м,

Δ𝑥' требуется определить,

Δ𝑡' = 5(сек) × 𝑐 (м/сек) = 15⋅10⁸ м,

Подставим эти данные в выражения для интервала:

81⋅10¹⁶

-

0

=

225⋅10¹⁶

-

(

Δ

𝑥')²

.

Решаем полученное уравнение:

(

Δ

𝑥')²

=

144⋅10¹⁶

м

²

,

или

Δ

𝑥'

=

12⋅10⁸

м

.

б) В лабораторной системе отсчёта оба события произошли в одном и том же месте. В системе отсчёта ракеты это «место» лаборатории сдвинулось на 12⋅10⁸ м за 5 сек (или за 15⋅10⁸ м светового времени). Поэтому относительная скорость двух систем отсчёта равна

Δ𝑥'

Δ𝑡'

=

12⋅10⁸

15⋅10⁸

=

4

5

.

2. Практическая синхронизация часов

Вы — наблюдатель, находящийся в покое вблизи часов с пространственными координатами 𝑥=6 м, 𝑦=8 м, 𝑧=0 м в лабораторной системе отсчёта. Вы хотите синхронизировать свои часы с часами, находящимися в начале координат, используя опорный сигнал. Подробно опишите количественно, как вы сделаете это. ▼

3. Соотношения между событиями

Рис. 34. Как связаны между собой события 𝐴, 𝐵 и 𝐶?

На рис. 34 изображены на диаграмме пространства-времени лабораторной системы отсчёта события 𝐴, 𝐵 и 𝐶. Ответьте на следующие вопросы, касающиеся пары событий 𝐴 и 𝐵: