=
𝑚²+𝐸+𝐸-
𝑝+𝑝-
.
Однако 𝐸+=(𝑚²+𝑝+²)¹/² всегда больше, чем 𝑝+, а 𝐸- всегда больше, чем 𝑝- Значит, косинус равен величине, явно превышающей единицу, и поэтому ему не может соответствовать никакой реальный угол φ. Заключение: предполагаемая реакция невозможна.
Это можно доказать намного проще и изящнее, если перейти к системе центра масс предполагаемой электрон-позитронной пары. К такой системе отсчёта, где полный импульс обращается в нуль, всегда можно перейти, если в рассматриваемой физической системе хотя бы у одной частицы масса покоя отлична от нуля. Но в этой системе в момент «до» (рис. 156) импульс исходного одиночного фотона никак не может быть равен нулю: иначе была бы равна нулю и энергия фотона, так как для фотонов 𝐸=𝑝, и этого фотона попросту бы не существовало! Значит, предполагаемая нами реакция нарушает законы сохранения.
Рис. 157. Диаграмма реально происходящей реакции: кроме фотона, в ней на начальной стадии должна участвовать заряженная частица с ненулевой массой покоя.
б) Рассуждения, проведённые в упражнении 93, показывают, что при пороговой реакции все её продукты двигаются совместно с одинаковыми скоростями (рис. 157). Законы сохранения тогда записываются в виде
𝐸
фотон
+
𝑚
=
3
𝐸
и
𝑝
=
𝐸
фотон
=
3
𝑝
.
Возводя в квадрат и вычитая друг из друга соответствующие части получающихся уравнений, найдём
𝐸
фотон
²
+
2𝑚𝐸
фотон
+
𝑚²
-
𝐸
фотон
²
=
=
9(
𝐸
²
-
𝑝
²
)=
9𝑚²
.
Отсюда следует величина пороговой энергии, равная
𝐸
фотон
=
4𝑚
=
4⋅(1/2
Мэв
)
=
2
Мэв
.
▲
96. Фоторождение пары двумя фотонами
Рис. 158. Диаграмма реально происходящей реакции: до реакции два фотона, после реакции — электрон-позитронная пара. Показан случай порогового рождения пары, когда электрон и позитрон неподвижны относительно друг друга.
Сначала рассмотрим пороговую реакцию, после которой возникающие электрон и позитрон не разлетаются (рис. 158; см. также упражнение 93). Запишем компоненты 4-вектора энергии-импульса до и после реакции и приравняем их:
𝐸₁
+
𝐸₂
=
2
𝐸
,
𝐩₁
+
𝐩₂
=
2
𝐩
.
Найдём квадрат этого 4-вектора:
(Энергия)
²
-
(Импульс)
²
=
=
𝐸₁²
+
2𝐸₁𝐸₂
+
𝐸₂²
-
𝑝₁²
-
2𝑝₁𝑝₂
cos φ
-
𝑝₂²
=
=
4
𝐸
²
-
4
𝑝
²
.
Полученное уравнение упрощается, если учесть, что разность 𝐸²-𝑝² равна 0 для фотонов и 𝑚 для электронов или позитронов, а также что 1-cos φ=2 sin² ½φ. В результате найдём
𝐸₁
𝐸₂
sin²
φ
2
=
𝑚²
.
Выполнение этого условия соответствует тому, что реакция идёт на пределе (пороговое условие). Если слева будет стоять большая величина, то это значит, что энергии, которой два фотона обладают в системе центра масс (когда их суммарный импульс равен нулю), в принципе было бы достаточно для образования пары более массивных частиц, чем электрон и позитрон. Этот избыток энергии (величины в левой части равенства) означает также, что, если на самом деле рождается пара (𝑒⁺, 𝑒⁻), то её компоненты будут находиться в относительном движении и их кинетическая энергия не будет равна нулю в системе центра масс; иначе говоря, мы будем иметь дело уже с надпороговой реакцией. ▲
97. Аннигиляция электрон-позитронной пары
а) В системе центра масс перед аннигиляцией полный импульс равен нулю. Значит, он должен быть равен нулю и после аннигиляции. Однако одиночный фотон не может обладать нулевым импульсом. Поэтому, чтобы закон сохранения импульса не нарушался, должно быть испущено по крайней мере два фотона (рис. 159).
Рис. 159.
б) Запишем закон сохранения энергии:
𝐸
+
𝑚
=
𝐸
₁
+
𝐸
₂
или
𝐸
₂²
=
⎛
⎝
𝐸
+
𝑚
-
𝐸
₁
⎞²
⎠
.
Закон сохранения импульса ясен из рис. 160.
Рис. 160.
Воспользуемся законом косинусов
𝐸
₂²
=
𝐸
₁²
+
𝑝²
-
2𝑝
𝐸
₁
cos φ₁
=
=
𝐸
₁²
+
𝐸²
-
𝑚²
-
2𝑝
𝐸
₁
cos φ₁
.
Приравнивая друг другу два выражения для 𝐸₂² найдём
𝐸²
+
𝑚²
+
𝐸
₁²
+
2𝑚𝐸
-
2𝐸
𝐸
₁
-
2𝑚
𝐸
₁
=
=
𝐸
₁²
+
𝐸²
-
𝑚²
-
2𝑝
𝐸
₁
cos φ₁
.
Отсюда следует выражение для 𝐸₁:
𝐸
₁
=
𝑚(𝑚+𝐸)
𝐸+𝑚-𝑝 cos φ₁
=
𝑚(2𝑚+𝑇)
2𝑚+𝑇-cos φ₁√𝑇²+2𝑚𝑇
или, наконец, в единицах массы электрона 𝑚,
𝐸
₁
=
1
.
𝑚
1
-
cos φ₁
√
1+2𝑚/𝑇
в) При заданной кинетической энергии сталкивающегося позитрона 𝑇 максимальная энергия гамма-кванта реализуется при cos φ₁=1, т.е. φ₁=0, и равна
⎛
⎜
⎝
𝐸₁
𝑚
⎞
⎟
⎠
макс
=
1
1-(1+2𝑚/𝑇)⁻¹/²
.
Минимальная энергия фотона соответствует cos φ₁=-1, т.е. φ₁=π, и равна
⎛
⎜
⎝
𝐸₁
𝑚
⎞
⎟
⎠
мин
=
1
1+(1+2𝑚/𝑇)⁻¹/²
.
г) При очень малых 𝑇 (очень больших отношениях 𝑚/𝑇) максимальная и минимальная энергии приближённо равны друг другу:
⎛
⎜
