в) Пусть 𝐸=𝑇+𝑚 — энергия и 𝑝 — импульс налетающего протона (рис. 121), 𝐸=𝑇+𝑚 — соответственно энергия и импульс каждой частицы после реакции. Законы сохранения имеют вид:
𝑇
+
𝑚
+
𝑚
=
4(
𝑇
+𝑚)
или
𝑇
=
1
4
𝑇
-
1
2
𝑚
и
𝑝
=
4
𝑝
или
⎛
⎝
𝑇²
+
2𝑚𝑇
⎞½
⎠
=
4
⎛
⎝
𝑇
²
+
2𝑚
𝑇
⎞½
⎠
.
Исключая из последнего уравнения 𝑇 и решая его затем относительно 𝑇, получим
𝑇
=
6𝑚
.
Это и есть пороговая энергия порождения протон-антипротонной пары. Так как масса покоя протона 𝑚 составляет 1 Бэв=10⁹ эв, то
𝑇
порог
=
6
Бэв
.
г) Из формулы в части в)
𝑇
=
1
4
𝑇
-
1
2
𝑚
находим, полагая 𝑇=6𝑚, что 𝑇=𝑚.
Энергетический баланс для пороговой реакции можно кратко охарактеризовать таким образом: из всей первоначальной кинетической энергии 6𝑚 в массы покоя протона и антипротона превращается энергия 2𝑚, и все 4 частицы, имеющиеся по окончании реакции, приобретают кинетическую энергию 𝑚 каждая.
д) Согласно уравнению (92) на стр. 162,
𝑚
²
=
(𝑚₁+𝑚₂)²
+
2𝑇₁𝑚₂
,
в случае 𝑚₁=𝑚₂=𝑚 и 𝑚=4𝑚 получим
16𝑚²
=
4𝑚²
+
2𝑇₁𝑚
и
𝑇₁
=
6𝑚
,
что уже было найдено в части в).
е) Собственно, как мишень тяжёлое ядро ничем не примечательно. Лучше всего представлять себе, что налетающий протон сталкивается в мишени с одним-единственным протоном, а не сразу со многими (сравните это с выстрелом пулей в стаю птиц). Новым качеством протона в ядре является его движение там. Даже если это движение совершается с умеренной кинетической энергией (𝑇₂=25 Мэв) навстречу налетающему протону, это уже даёт огромное преимущество, позволяя получать пары при гораздо более низких энергиях. Законы сохранения имеют вид
𝑚
+
𝑇₁
+
𝑚
+
𝑇₂
=
4(𝑚+
𝑇
)
(энергия),
√
𝑇₁²+2𝑚𝑇₁
-
√
𝑇₂²+2𝑚𝑇₂
=
=
4
⎛
⎝
𝑇
²
+
2𝑚
𝑇
⎞½
⎠
(импульс).
Исключая из второго уравнения 𝑇 с помощью первого, можно найти 𝑇₁:
𝑇₁
=
6𝑚
+
7𝑇₂
-
4√
3𝑇₂²+6𝑇₂𝑚
.
Если кинетическая энергия 𝑇₂ мала, приближённо получим
𝑇₁
≈
6𝑚
-
4√
6𝑇₂𝑚
.
Полагая 𝑇₂=25 Мэв, найдём отсюда пороговую энергию
𝑇₁
≈
6000
Мэв
-
4⋅4000
Мэв
=
4400
Мэв
,
при этом всё равно, какое было выбрано ядро мишени — гелия или свинца! В формулу входит квадратный корень из энергии протона мишени, так как он даёт скорость этого протона. Такое движение навстречу «обстреливающему» протону делает его кинетическую энергию (в системе центра масс) много большей, чем в лабораторной системе отсчёта. Какие-то 25 Мэв позволяют сэкономить целых 1600 Мэв! ▲
94. Порождение частиц электронами
Разберитесь сначала в решении упражнения 93. Воспользуйтесь уравнением (92) на стр. 162, приняв 𝑚₁=𝑚𝑒 в качестве массы налетающего электрона, 𝑚₂=𝑚𝑝 — массы протона мишени и 𝑚=𝑚𝑒+3𝑚𝑝 — массы продуктов реакции (электрон, два протона и антипротон). Тогда это уравнение даст
(𝑚
𝑒
+3𝑚
𝑝
)²
=
(𝑚
𝑒
+𝑚
𝑝
)²
+
2𝑇
𝑒
𝑚
𝑝
,
откуда следует величина пороговой кинетической энергии электрона
𝑇
𝑒
=
4𝑚
𝑝
+
2𝑚
𝑒
.
Масса покоя протона соответствует 10³ Мэв, а электрона 1/2 Мэв, так что ею можно практически пренебречь по сравнению с массой протона. Поэтому пороговая энергия приблизительно равна 4𝑚𝑝=4000 Мэв. ▲
95. Фоторождение пары одиночным фотоном
Рис. 156. Диаграмма предполагаемой реакции: слева одиночный фотон до реакции, справа — предполагаемый результат реакции (пара электрон и позитрон). Реакция не идёт.
а) Предполагаемая реакция изображается диаграммой на рис. 156. Законы сохранения имеют вид:
𝐸
фотон
=
𝐸
+
+
𝐸
-
(энергия),
𝐩
=
𝐩
+
+
𝐩
-
(импульс).
Вместо того чтобы рассматривать все компоненты 4-вектора энергии-импульса, достаточно будет взять его квадрат,
(Энергия)
²
-
(Импульс)
²
,
величина которого не должна изменяться в ходе реакции. Возводя в квадрат уравнения, описывающие законы сохранения, и вычитая полученные выражения друг из друга, найдём
(Энергия)
²
-
(Импульс)
²
=
=
(
𝐸
+
²
+
2
𝐸
+
𝐸
-
+
𝐸
-
²)
-
(
𝑝
+
²
+
2
𝐩
+
𝐩
_
+
𝑝
+
²)
=
=
𝐸
фотон
²
-
𝑝
фотон
²
.
Вспомним, что разность 𝐸²-𝑝² в случае электрона равна просто 𝑚², а для фотона она даёт нуль. Кроме того, 2𝐩+𝐩-=2𝑝+𝑝- cos φ, где φ — угол между направлениями вылета электрона и позитрона. Разделив на 2, получим уравнение
𝑚²
+
𝐸
+
𝐸
-
-
𝑝
+
𝑝
-
cos φ
=
0
или
cos φ
