Подробности о координатах событий 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты
Лампа даёт вспышку в лабораторной системе в нулевой момент времени в начале системы координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 (на рисунке заштриховано). Пролёт ракеты мимо этого места приурочен к такому времени, что и для ракеты вспышка имеет место также в начале координат (заштриховано снова) и в нулевой момент. Подытожим данные о координатах события 𝐴 (акт излучения):
𝑥
𝐴
=0,
𝑦
𝐴
=0,
𝑡
𝐴
=0,
(в лабораторной системе),
𝑥
𝐴
́ =0,
𝑦
𝐴
́ =0,
𝑡
𝐴
́ =0,
(в системе ракеты).
Отражатель укреплён на часах ракеты на расстоянии 1 м прямо над началом координат.
В системе ракеты приём вспышки осуществляется в том же месте, где произошло её излучение. Свет вспышки прошёл замкнутый путь длиной 2 м, и на этот путь потребовалось 2 м светового времени. Поэтому координаты события 𝐵 (акт приёма вспышки) в системе отсчёта ракеты равны:
𝑥
𝐵
́ =0,
𝑦
𝐵
́ =0,
𝑧
𝐵
́ =2
м
.
Более содержательны не абсолютные значения координат, а разности координат событий 𝐴 и 𝐵:
Δ
𝑥
́
=
𝑥
𝐵
́ -𝑥
𝐴
́
=
0,
Δ
𝑦
́
=
𝑦
𝐵
́ -𝑦
𝐴
́
=
0,
Δ
𝑡
́
=
𝑡
𝐵
́ -𝑡
𝐴
́
=
2
м
.
В лабораторной системе отсчёта приём вспышки происходит не в начале координат, а на расстоянии Δ𝑥 вправо от него. Если скорость ракеты велика, то велико и расстояние Δ𝑥; если скорость мала, то мало и Δ𝑥. (На рисунке это расстояние равно 1 м, однако дальнейшие расчёты справедливы для любого расстояния). В лабораторной системе отсчёта свет распространяется по гипотенузам двух прямоугольных треугольников, основание каждого из которых равно Δ𝑥/2, а высота 1 м. Полная длина пути поэтому получается равной
2
√
1+(
Δ
𝑥/2)²
Вспомним теперь, что скорость света одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты (что хотя и неправдоподобно, но является законом природы!). Поэтому разность времён акта излучения и акта приёма вспышки в лабораторной системе отсчёта выражается такой же формулой
Δ
𝑡
=
𝑡
𝐵
-
𝑡
𝐴
=
2
√
1+(
Δ
𝑥/2)²
(4)
(в метрах светового времени).
Промежуток времени между событиями 𝐴 и 𝐵 неодинаков для наблюдателей в лаборатории и на ракете
Почему этот промежуток времени превышает 2 м? Дело в том, что гипотенуза прямоугольного треугольника на рис. 13,а больше, чем его высота. Поэтому невозможно избежать заключения о том, что промежуток времени между актами излучения и приёма вспышки неодинаков в двух инерциальных системах отсчёта.
Таблица 5.
Разности координат событий приёма и посылки сигнала
Лабораторная система
отсчёта
Система отсчёта
ракеты
𝑥
приём
-𝑥
излуч
=
Δ
𝑥
𝑥
приём
'-𝑥
излуч
'=
Δ
𝑥'
=0
𝑡приём-𝑡излуч=Δ𝑡=
=2√1+(Δ𝑥/2)²
𝑡
приём
'-𝑡
излуч
'=
Δ
𝑥'
=2
м
В табл. 5 сведены разности как пространственных, так и временной координат событий 𝐴 и 𝐵. Промежуток времени различен в разных инерциальных системах отсчёта; различен и промежуток, разделяющий события в пространстве,— картина аналогична той, когда разности координат Δ𝑥 и Δ𝑦 для двух городских ворот были разными для дневного и ночного землемеров! Но для этих землемеров существовала комбинация координат (квадрат расстояния между воротами), одинаковая для них обоих:
(Расстояние)
²
=
(
Δ
𝑥
)
²
+
(
Δ
𝑦
)
²
=
(
Δ
𝑥'
)
²
+
(
Δ
𝑦'
)
²
.
Есть ли подобная комбинация координат наших двух событий, которая была бы одинаковой в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты? Ответ на этот вопрос: да! Квадрат интервала
(Интервал)
²
=
(
Δ
𝑡
)
²
-
(
Δ
𝑥
)
²
=
(
Δ
𝑡'
)
²
-
(
Δ
𝑥'
)
²
=
(2
м
)
²
(5)
— именно такая величина, как можно проверить путём непосредственной подстановки величин, фигурирующих в табл. 5.
Интервал между между событиями 𝐴 и 𝐵 имеет одну и ту же величину как для наблюдателя в лаборатории, так и на ракете
Взятая нами для исследования двух событий система отсчёта ракеты является довольно-таки специальной, так как и акт излучения, и акт приёма сигнала происходят в ней в одной и той же точке. На рис. 13, в изображён путь отражённого луча в системе отсчёта второй ракеты (система «сверхракеты»), движущейся относительно лабораторной системы отсчёта ещё быстрее, чем первая ракета. В системе этой второй ракеты разность координат 𝑥 двух событий — актов излучения и приёма вспышки (дважды штрихованные величины) 𝑥𝐵ʺ=𝑥𝐴ʺ-Δ𝑥ʺ — отрицательна, ибо акт приёма осуществляется в этой системе отсчёта на отрицательной оси 𝑥. Тем не менее (-Δ𝑥ʺ)²=(Δ𝑥ʺ)² и к тому же можно использовать свойства прямоугольных треугольников на рис. 13, в, из всего этого следует, что полная длина пути светового луча в системе отсчёта второй ракеты даётся выражением 2√1+(Δ𝑥ʺ/2)², которое имеет тот же вид, что и в лабораторной системе. Величина скорости света в системе отсчёта второй ракеты должна быть равна 𝑐, как и в системе первой ракеты. Отсюда найдём время, прошедшее между актами излучения и приёма вспышки:
𝑡
𝐵
ʺ-𝑡
𝐴
ʺ
=
Δ
𝑡ʺ
=
2√
1+(
Δ
𝑥ʺ/2)²
.
Следовательно,
(
Δ
𝑡ʺ)²
-
(
Δ
𝑥ʺ)²
=
(2
м
)
²
,
так что вообще
