(𝑑𝑠)²
=
𝑔₄₄
(𝑑𝑡)²
.
(5.4.1)
Координатная временная единица 𝑡 должна быть (𝑅/𝑐), где 𝑅 - радиус вселенной. Мы предполагаем, что атомные единицы определяются 𝑑𝑠, мы серьёзно берём в качестве абсолютного размера 𝑔μν, тогда одна единица 𝑑𝑠 является фундаментальной длиной. Какова фундаментальная длина? Все масштабы длины пропорциональны, но мы попробуем использовать комптоновскую длину волны ℏ/𝑀𝑐. Тогда 𝑠 от 1 означает одну осцилляцию волновой функции протона, a 𝑡 от 1 - масштаб, равный размеру Вселенной.
Предположим затем, что вклад в величину 𝑔₄₄, обусловленный каждым протоном, есть просто 1/𝑟 (𝑟 есть в координатных единицах радиус вселенной). Тогда удалённые ”туманности”, которые имеют 𝑁₀ протонов и которые удалены на характерное расстояние 𝑅=1, дают вклад в величину 𝑔₄₄ порядка 𝑁₀. В окрестности звезды на расстоянии 𝑟, содержащей 𝑛 протонов, элемент дуги имеет следующий квадрат:
(𝑑𝑠)²
=
⎛
⎜
⎝
𝑁₀
+
𝑛
𝑟
⎞
⎟
⎠
(𝑑𝑡)²
.
(5.4.2)
Совпадение состоит в том, что если 𝑇 - возраст вселенной, то он численно связан со временем протона (ℏ/𝑀𝑝𝑐²)≈𝑇√𝑁₀. Вместе с другим совпадением, о котором уже было упомянуто, что 2𝑀всел𝐺/𝑅≈1, когда мы вновь переходим к произвольной системе единиц, такой как сантиметры и секунды, получаем
(𝑑𝑠)²
=
⎛
⎜
⎝
𝑁₀
+
2𝑚𝐺
𝑟
⎞
⎟
⎠
(𝑐𝑑𝑡)²
,
(5.4.3)
где 𝑚 - масса звезды, грубо говоря 𝑚=𝑛𝑀𝑝. За исключением катастрофического появления знака (+) вместо знака (-), этот результат идентичен ”правильному” выражению для длины дуги. Мы преуспели в получении правильных размеров путём жонглирования космологическими числами.
Вероятно, в таком совпадении нет какого-либо глубокого значения. Одно положение, которое неверно, состоит в том, что мы предположили вклад (1/𝑟) от каждой протонной массы, но зависимость (1/𝑟) есть правильное выражение для поправок к полной энергии, обусловленной влиянием близких частиц, и это выражение, возможно, неверно для частиц в удалённых галактиках. Другая серьёзная трудность состоит в том, что мы не пытались учесть эффекты, связанные с другими членами тензора ℎμν например ℎ₁₁ Однако такое жонглирование служит тому, чтобы показать, как теории гравитации неизбежно приводят к рассмотрению вовлечённых в теорию времени и инерции; мы получаем представление о том, как взаимодействие, выраженное через число удалённых частиц, может привести к наблюдаемой инерции такого объекта, как протон. Во всяком случае, делается намёк на то, что абсолютная величина тензора ℎμν взята серьёзно; эта величина может иметь смысл. Плоское пространство может быть ℎ₄₄=-ℎ₁₁=-ℎ₂₂=-ℎ₃₃=ξ, где ξ - имеющее глубокий смысл число, которое не берётся просто равным 1.
5.5. Собственная энергия гравитационного поля
Вернёмся к менее спекулятивной и более точной материи. При развитии и проведении модификаций нашей полевой теории мы пренебрегали тем, чтобы проверить, является ли наша теория внутренне непротиворечивой. Мы написали полный лагранжиан, имеющий полевой член, член, описывающий материю, и член, характеризующий взаимодействие. Мы получили полевое уравнение, используя условие, что дивергенция тензора энергии-импульса должна быть равна нулю. Такая процедура очевидно некорректна, так как мы написали тензор давления, который не включал в себя энергию самого гравитационного поля. Таким образом, наша нынешняя теория не выдерживает критики с точки зрения физики, так как энергия вещества не сохраняется.
Мы попробуем исправить этот теоретический недостаток путём поиска нового тензора, который складывается со старым тензором 𝑇μν. который мог бы разрешить эту проблему, так что
(
𝑇
μν
+
χ
μ,ν
)
,ν
=
0,
(5.5.1)
и в то же самое время полная энергия поля правильно учтена. Как мы найдём этот член? Мы могли бы попытаться построить правильный полный тензор, используя формулу Вентцеля и полный лагранжиан. Результат даёт несимметричный тензор, если мы проведём его симметризацию, проведём также вычисления, то оказывается, что выражение для прецессии перигелия Меркурия получается неверным. Это другой пример эмпирического определения физических теорий: теории, не возникающие из некоторого рода вариационного принципа, такого как принцип минимального действия, могут в конечном счёте приводить к волнениям и противоречиям.
Сделаем попытку другого рода согласно общей линии нашего построения, заключающегося в испытаниях различных теорий в последовательном порядке увеличения сложности. Физически мы знаем, что мы пытаемся описать нелинейный эффект: гравитационное поле образовано энергией, энергия этого поля есть источник других полей. Здесь мы можем приступить к получению важного результата. Конечно возможно, что такая нелинейность может приниматься в расчёт для малого остаточного отличия в прецессии перигелия Меркурия. Мы будем требовать, чтобы полевые уравнения получались из вариации некоторого действия, и будем задавать себе вопрос о том, какого вида член должен быть добавлен к лагранжиану для того, чтобы получить член, похожий на член χμν чтобы придти к уравнению движения
ℎ
μν,σ
,σ
-
2
ℎ
μ
σ
,νσ
=-
λ(
𝑇
μ,ν
+
χ
μ,ν
),
(5.5.2)
и такого, что соотношение (5.5.1) оказывается выполненным? Как может выглядеть выражение χμν, если оно представляет вид гравитационной энергии? Несомненно, что, по крайней мере, частично эта величина пропорциональна квадратам полевых сил; это есть произведение двух градиентов потенциалов. Возможно, поэтому, χμν есть сумма членов, похожих на ℎμσ,λℎνλ,σ + т.д., каждый из которых с двумя компонентами ℎ и двумя производными.
Мы будем требовать, чтобы наши уравнения были выводимы из вариационного принципа такого, как наименьшее действие. Когда мы вариируем эти произведения, мы уменьшаем число компонент ℎ, так что для лагранжиана, который используется для вычисления вариации действия, требуется связывающий член третьего порядка по ℎμν, который будем называть 𝐹³; мы будем пытаться сделать преобразования так, что вариация 𝐹³ приводит к члену χμν
δ𝐹³
δℎμν
=
λχ
μν
.
(5.5.3)
Алгебраическое выражение 𝐹³ должно быть таким, чтобы оно включало в себя произведения трёх компонентов ℎ и имело два индекса, по которым берётся производная. Типичный член 𝐹³ может быть вида
𝐹³
=
𝑎
ℎ
μν
ℎ
μσ,λ
ℎ
σλ
,ν
+
… .
(5.5.4)
Когда мы записываем все возможные такие произведения, мы находим, что их 24. Мы могли бы в дальнейшем уменьшить это число, замечая, что некоторые члены могут быть сведены к комбинациям других интегрированием дважды по частям, эти соображения приводят нас к тому, чтобы записать 18 различных и независимых выражений. Следовательно, мы приходим к выражению для χμν через компоненты ℎ и 18 независимых констант.
