1
ω²-𝑘²
(
𝑗'₁𝑗₁
+
𝑗'₂𝑗₂
).
(3.2.8)
Теперь мы можем дать интерпретацию двум членам этого уравнения. Четвёртый компонент тока есть просто плотность заряда; в этой ситуации, когда у нас есть стационарные заряды, это единственный ненулевой компонент. Первый член не зависит от частоты, и когда мы делаем обратное преобразование Фурье для того, чтобы преобразовать выражение в пространство взаимодействия, мы находим, что полученное соотношение представляет мгновенно действующий кулоновский потенциал
(𝐹.𝑇.⁻¹)
⎡
⎢
⎣
𝑗'₄𝑗₄
𝑘²
⎤
⎥
⎦
=
𝑒²
4π𝑟
δ(𝑡-𝑡')
.
(3.2.9)
Это выражение всегда представляет собой главный член в пределе малых скоростей. Этот член кажется мгновенным, но это только потому, что разделение на два члена, которое мы сделали, очевидно, не является ковариантным. Общее взаимодействие на самом деле ковариантная величина; второй член представляет поправки к мгновенному кулоновскому взаимодействию.
Во взаимодействие между двумя токами всегда вовлечены виртуальные фотоны. Мы можем узнать кое-что о свойствах реальных фотонов из анализа полюсов амплитуды взаимодействия, которая имеет место при ω±𝑘. Конечно, любой фотон, который участвует в физическом эффекте, может рассматриваться как виртуальный фотон, так как он не наблюдается до тех пор, пока не произойдёт взаимодействие, так что наблюдаемые фотоны никогда не характеризуются соотношением ω±𝑘. Тем не менее, нет трудностей в приближении к этому пределу; физически мы знаем фотоны, которые приходят от Луны или Солнца, для которых относительная разница между величинами ω и 𝑘 очень, очень мала. Если мы полагаем, что мы наблюдаем фотоны от удалённых галактик, которые находятся от наблюдателя на расстоянии в миллионы световых лет, мы понимаем, что это должно придать тот физический смысл, чтобы думать, что мы близки к полюсу так, что для этих фотонов не может быть никакого физического эффекта не являющимся похожим на полюсный член. Вычет полюсного члена при ω=𝑘 есть сумма двух членов, каждый из которых есть произведение двух множителей. Кажется, что существует один тип фотонов, которые взаимодействуют с токами 𝑗₁ и 𝑗'₁ и другой тип фотонов, которые взаимодействуют с токами 𝑗₂ и 𝑗'₂ Пользуясь обычным языком, мы описываем данную ситуацию, говоря, что имеются две независимые поляризации для фотонов.
Круговая поляризация есть ничто иное, как линейные комбинации плоскополяризованных фотонов, соответствующих разделению суммы произведений (𝑗'₁𝑗₁+𝑗'₂𝑗₂) в различном базисе, таким образом мы имеем
(𝑗'₁𝑗₁+𝑗'₂𝑗₂)
=
1
√2
(𝑗₁+𝑖𝑗₂)
1
√2
(𝑗'₁+𝑖𝑗'₂)*
+
+
1
√2
(𝑗₁-𝑖𝑗₂)
1
√2
(𝑗'₁-𝑖𝑗'₂)*
.
(3.2.10)
По-прежнему, мы видим здесь, что имеется два типа фотонов. Преимущество такого разделения становится очевидным, когда мы рассматриваем вращение координатной системы вокруг направления движения фотона 3. Фотоны с круговой поляризацией вращаются вокруг себя, потому что они меняют только фазу при повороте системы координат на угол θ эти фазы равны exp(𝑖θ) и exp(-𝑖θ).
Квантово-механические правила, описывающие поведение систем под действием вращения, говорят нам, что системы, имеющие такое свойство, находятся в состоянии с определённым значением углового момента; фотоны, которые меняют фазу как exp(𝑖θ), имеют проекцию углового момента 1, а фотоны с изменением фазы exp(-𝑖θ) - проекцию, которая равна -1.
Мы могли бы ожидать, что если фотоны имеют спин, равный 1, то мог бы существовать третий тип фотонов, имеющих проекцию спина, равную 0. Тем не менее, может быть показано, что для релятивистской теории частиц с нулевой массой покоя разрешены только два состояния проекции, имеющие максимальное и минимальное значения проекции вдоль направления распространения. Этот общий результат, справедливый для частиц с любым спином, был доказан Вигнером. Мы не будем приводить здесь это доказательство, но просто для тех случаев, которые нас интересуют, фотона сейчас и гравитона ниже, покажем существование этих двух состояний точным разделением этого взаимодействия.
Можно было бы возразить, что мы показали существование двух состояний для токов, которые являются операторами источника в большей степени, чем для самих фотонов. Но одно влечёт за собой другое, так как амплитуда процесса испускания фотон с круговой поляризацией -1 задаётся оператором тока (𝑗'₁-𝑖𝑗'₂)/√2 и т.д. Если мы вращаем систему координат, то амплитуда для процесса излучения не должна бы меняться, так что, мы приходим к требованию соответствующего изменения фазы для самих фотонов. Действительная поляризация фотонов, возможно, наилучшим образом определяется проекциями векторного потенциала в выделенных направлениях, таких как 𝑒μ (𝑒μ - единичный вектор). Взаимодействие такого фотона с током 𝑗μ, т.е. амплитуда поглощения или испускания такого фотона задаётся соотношением
-𝑒
μ
𝑗
μ
=
(проекция
𝑗
μ
вдоль
𝑒
μ
)
(3.2.11)
3.3. Амплитуды для обмена гравитона
Выпишем амплитуды для обмена гравитоном по простой аналогии с электродинамикой. Мы должны будем обратить особое внимание на мгновенные нерелятивистские члены, так как только эти члены выявляются в существующих экспериментальных наблюдениях гравитации. Полная теория даёт нам как члены, описывающие мгновенное взаимодействие (аналогичное кулоновскому взаимодействию), так и поправки, которые появляются как запаздывающие волны; мы должны будем разделить эти запаздывающие эффекты для вычислений наблюдаемых эффектов.
Мы предполагаем, что оператор Даламбера в импульсном пространстве есть 𝑘² по простой аналогии с уравнением (3.2.1) мы ожидаем, что тензор поля устанавливает соотношение с тензором источника следующим образом
ℎ
μν
=
1
𝑘²
𝑇
μν
.
(3.3.1)
Какое это может быть взаимодействие? Так как электродинамика описывает токи, предположим, что тензоры источника появляются в энергии взаимодействия следующим образом
𝑇'
μν
⎛
⎜
⎝
1
𝑘²
⎞
⎟
⎠
𝑇
μν
.
(3.3.2)
Теперь наша задача состоит в том, чтобы описать частные характеристики тензора 𝐓 так, чтобы воспроизводились характеристики гравитации. A priori возможно, что тензор 𝐓 включает в себя градиенты, который и есть вектор 𝐤. Если в тензор включены только градиенты, то в результирующей теории нет монополей; простейшими объектами могут быть диполи. Мы хотим, чтобы тензор 𝐓 был таким, как в нерелятивистском пределе, а плотность энергии появлялась по аналогии с плотностями заряда 𝑇₄₄. Как хорошо известно, мы имеем в электромагнетизме тензор давления, чья компонента 𝑇₄₄ является в точности плотностью энергии электромагнитного поля. Следовательно, очень вероятно, что имеется некоторый общий тензор, чей компонент 𝑇₄₄ является плотностью полной энергии; это будет задавать ньютоновский закон гравитации в пределе малых скоростей, энергия взаимодействия при этом
