Теория, в которой спин частицы равен 1, в большой степени то же самое, что и электродинамика. Нет ничего такого, что запрещало бы существование двух полей со спином 1, но гравитация не может быть одним из этих полей, потому что одно из следствий спина 1 заключается в том, что одинаковые заряды отталкиваются, а противоположные притягиваются. Это фактически свойство всех теорий с нечётным спином; и наоборот, обнаружено, что теории с чётным спином описывают силы притяжения, так что нам надо рассматривать только значения спинов 0 или 2 и возможно 4, если теория со спином 2 окажется неудовлетворительной; нет нужды работать с более сложными вариантами теории до той поры, пока не обнаружено, что более простые теории оказываются неадекватными.

Рис. 3.1.

Отклонение теорий гравитации со спином гравитона, равным 0, делается на основании гравитационного поведения энергии связи. Мы не намереваемся обсуждать здесь все детали до конца; мы приведём аргументы по аналогии, а затем приступим напрямую к построению теории со спином гравитона, равным 2. Зададим следующий вопрос: каково притяжение между движущимися объектами; больше оно или меньше, чем для статических объектов? Мы можем, например, вычислить взаимное притяжение двух масс газа; экспериментальное исследование гравитации приводит к выводу, что эта сила больше в том случае, если газ горячее (рис. 3.1).

Мы знаем, как это происходит в электродинамике. Электрические силы не меняются при случайном движении частиц. Теперь энергия взаимодействия пропорциональна ожидаемому значению оператора γ_𝑡, который равен 1/√1-𝑣²/𝑐². Так как потенциал, следующий из этого оператора, не является зависимым от скорости, то коэффициент пропорциональности должен быть √1-𝑣²/𝑐². Это означает, что энергия взаимодействия, следующая из оператора1, соответствующего полю со спином 0, была бы пропорциональна √1-𝑣²/𝑐². Другими словами, теория со спином гравитона, равным 0, предсказывала бы, что взаимодействие между массами горячего газа было бы меньше, чем для холодного газа. Аналогичным способом может быть показано, что теория со спином гравитона, равным 2, приводит к энергии взаимодействия, которая имеет 1/√1-𝑣²/𝑐² в знаменателе, что согласуется с экспериментальными результатами о влиянии на гравитацию энергии связи. Таким образом, теория со спином гравитона 0 должна быть отвергнута, и нам необходимо рассматривать спин гравитона 2 для того, чтобы иметь теорию, в которой взаимодействие будет пропорционально величине энергии.

3.2. Амплитуды и поляризации в электродинамике, типичной полевой теории

Сейчас наша программа состоит в том, чтобы построить теорию со спином гравитона 2 по аналогии с другими теориями поля, которые у нас есть. В этом месте мы могли бы перейти на взгляд Эйнштейна на теорию гравитации, так как он получил правильную теорию, но будет более поучительно и проще для нас изучить свойства теории, если мы поддерживаем фантазию венерианских учёных для того, чтобы предположить свойства правильной теории. Поэтому, предполагая, что многие учёные сегодня могут придти к правильной теории гравитации, мы отнюдь не умаляем достижение Эйнштейна. В настоящее время у нас есть ретроспективный, хорошо развитый формализм, которого не было пятьдесят лет назад, и у нас есть указание Эйнштейна на правильное направление теории. Очень трудно представить себе, чтобы мы делали, если бы мы не знали того, что мы знаем, когда мы знаем то, что знаем, но давайте продвинемся дальше и сделаем предположения о правильной теории по аналогии с электродинамикой.

В теориях со скалярным, векторным и тензорным полями (другой способ обозначения спина 0, 1, 2) поля описываются скалярной, векторной или тензорной потенциальными функциями

Спин

0

𝑋

Скалярный потенциал

Спин

1

𝐴

_μ

Векторный потенциал

Спин

2

ℎ

_μν

Симметричный тензорный потенциал

Другая теория могла бы следовать из предположения, что тензор - антисимметричный; это не привело бы к чему-то, напоминающему гравитацию, скорее к теории, напоминающей электромагнетизм; шесть независимых компонент антисимметричного тензора могли появиться как два пространственных вектора.

Рис. 3.2.

Источник электромагнетизма - векторный ток 𝑗_μ, который связывается с векторным потенциалом уравнением

𝐴

_μ

=-

1

𝑘²

𝑗

_μ

.

(3.2.1)

Сделаем преобразование Фурье и используем импульсное представление. Оператор Даламбера в импульсном представлении есть просто 𝑘². Вычисление амплитуд в электромагнетизме делается с помощью пропагаторов, связывающих токи, способом, изображённым диаграммами, такими, как на рис. 3.2. Вычислим амплитуды для таких процессов как функцию релятивистских инвариантов, и ограничим наш ответ, как предписывается законами сохранения импульса и энергии. Суть электромагнетизма состоит в детальном описании взаимодействия между током и полем, т.е. 𝑗^μ𝐴_μ; на языке источников это становится взаимодействие между двумя токами

-𝑗'

_μ

1

𝑘²

𝑗

^μ

.

(3.2.2)

Координатные оси могут быть выбраны таким образом, что вектор 𝑘_μ может быть выражен как

𝑘

^μ

=

(ω,𝑘,0,0)

.

(3.2.3)

Заметим, что мы используем упорядочение индекса 4, 3, 2, 1 так, что

𝑥

^μ

=

(𝑡,𝑧,𝑦,𝑥)

,

𝐴

_μ

=

(𝐴₄,𝐴₃,𝐴₂,𝐴₁)

.

(3.2.4)

Тогда ток-ток взаимодействие, когда незаряженные частицы имеют 4-импульс 𝑘^μ задается соотношением

-𝑗'

_μ

⎛

⎜

⎝

1

𝑘²

⎞

⎟

⎠

𝑗

_μ

=

-1

ω²-𝑘²

(

𝑗'₄𝑗₄

-

𝑗'₃𝑗₃

-

𝑗'₂𝑗₂

-

𝑗'₁𝑗₁

).

(3.2.5)

Закон сохранения заряда, который утверждает, что четыре-дивергенция тока равна нулю, в пространстве импульсов становится ограничением

𝑘

_μ

𝑗

^μ

=

0.

(3.2.6)

В этой специальной системе координат, которую мы выбрали, это ограничение связывает третий и четвёртый компонент этих токов соотношениями

ω𝑗⁴

-

𝑘𝑗³

=

0,

или

𝑗³

=

ω

𝑘

𝑗⁴

.

(3.2.7)

Если мы подставляем выражение для 𝑗₃ в выражение амплитуды (3.2.5), мы получаем, что

-𝑗'

_μ

⎛

⎜

⎝

1

𝑘²

⎞

⎟

⎠

𝑗

^μ

=

𝑗'₄𝑗₄

𝑘²