𝑅

𝑑𝑃

𝑑𝑧

=

𝑑𝑃

𝑑𝑡

,

(22)

решением которого является

𝑃

=

𝐹

{

𝑥,𝑦(𝑧+𝑅𝑡)

}.

(23)

Следовательно, значение 𝑃 в произвольной точке на положительной стороне листа с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧 в момент времени 𝑡 равно значению 𝑃 в точке 𝑥,𝑦,(𝑧+𝑅𝑡) в момент времени 𝑡=0.

Поэтому если в однородном плоском листе неограниченной протяжённости возбуждена какая-то система токов и предоставлена затем самой себе, то производимый ею в любой точке на положительной стороне листа магнитный эффект будет таким же, как если бы эта система токов на листе поддерживалась неизменной, а сам лист двигался бы с постоянной скоростью 𝑅 в направлении нормали, выходящей из отрицательной стороны. Уменьшение электромагнитных сил, возникающее из-за спадания тока в реальном случае, представляет собой точно то уменьшение сил, которое связано с увеличением расстояния в воображаемом случае.

660. Интегрируя уравнение (21) по 𝑡, получаем

𝑃

+

𝑃'

=

∫

𝑅

𝑑𝑃

𝑑𝑧

𝑑𝑡

.

(24)

Если предположить, что сначала обе величины 𝑃 и 𝑃' равнялись нулю и что магнит (или электромагнит) внезапно подвергся намагничиванию или был принесён из бесконечности, мгновенно изменив значение 𝑃' от нуля до 𝑃', то, поскольку интеграл по времени в правой части (24) исчезает, мы должны в первое мгновение на поверхности листа получить 𝑃=-𝑃'.

Таким образом, система токов, возбуждаемых в листе при мгновенном введении системы, обусловливающей значение 𝑃', такова, что на поверхности листа она полностью нейтрализует магнитное действие этой системы.

Поэтому на поверхности листа и, следовательно, во всех точках на его отрицательной стороне начальная система токов производит действие равное, но противоположное действию магнитной системы на положительной стороне. Мы можем выразить это, сказав, что действие токов эквивалентно действию изображения магнитной системы, совпадающей по своему положению с исходной системой, но противоположной ей в отношении намагниченности и электрических токов. Такое изображение называется отрицательным.

Действие токов в листе в некоторой его точке на положительной стороне эквивалентно действию положительного изображения магнитной системы на отрицательной стороне листа, причём линии, соединяющие соответствующие точки, пересекаются с листом под прямыми углами.

Магнитное действие в некоторой точке по любую сторону от листа, обусловленное токами в этом листе, можно, следовательно, рассматривать как действие, создаваемое изображением магнитной системы, расположенным по ту сторону от листа, которая противоположна этой точке, причём изображение является положительным или отрицательным в соответствии с тем, находится точка на положительной или на отрицательной стороне листа.

661. Если лист обладает бесконечной проводимостью, то 𝑅=0, и правая часть уравнения (24) также равна нулю; таким образом, изображение в любой момент времени будет представлять действие текущих в листе токов.

В случае реального листа сопротивление 𝑅 имеет некоторое конечное значение. Поэтому только что описанное изображение воспроизведёт действие токов лишь в первый момент после мгновенного введения магнитной системы. Сразу же вслед за этим токи начнут убывать, и эффект от этого спадания будет в точности воспроизведён, если предположить, что два изображения движутся из своих первоначальных положений с постоянной скоростью 𝑅 в направлении нормалей, проведённых от листа.

662. Теперь мы подготовлены к исследованию системы токов, индуцированных в листе любой системой (𝑀) магнитов или электромагнитов, расположенных по положительную сторону от листа, когда их положения и мощности меняются произвольным образом.

Пусть 𝑃', как и прежде, будет той функцией, из которой, пользуясь уравнениями (3), (9) и т.д., следует выводить непосредственное действие этой системы, тогда (𝑑𝑃'/𝑑𝑡)δ𝑡 окажется функцией, соответствующей системе, представляемой величиной (𝑑𝑀/𝑑𝑡)δ𝑡. Можно считать, что эта величина, равная приращению 𝑀 за время δ𝑡, сама представляет магнитную систему.

Предположим, что в момент времени 𝑡 по отрицательную сторону листа сформировалось положительное изображение системы (𝑑𝑀/𝑑𝑡)δ𝑡, тогда магнитное действие в любой точке с положительной стороны листа, обусловленное этим изображением, будет эквивалентно действию токов в листе, возбуждённых изменением 𝑀 в первый момент непосредственно после этого изменения; если изображение, как только оно возникло, начнёт двигаться в отрицательном направлении 𝑟 с постоянной скоростью 𝑅, то оно будет продолжать служить эквивалентом токов, индуцированных в листе.

Считая, что в каждый последующий промежуток времени формируется изображение такого рода и что сразу же после своего появления оно начинает удаляться от листа со скоростью 𝑅, мы получим дорожку изображений, последнее из которых пребывает ещё в стадии формирования, в то время как все остальные двигаются подобно твёрдому телу, удаляясь от листа со скоростью 𝑅.

663. Обозначив через 𝑃' функцию, обусловленную произвольным действием магнитной системы, мы можем найти соответствующую функцию 𝑃, обусловленную действием токов в листе, при помощи следующего процесса, являющегося просто математическим представлением теории дорожки изображений.

Пусть 𝑃_τ есть значение функции 𝑃 (обусловленной токами в листе) в точке (𝑥,𝑦,𝑧+𝑅τ) в момент времени 𝑡-τ, а 𝑃_τ' - значение 𝑃' (функции, обусловленной магнитной системой) в точке (𝑥,𝑦,-(𝑧+𝑅τ)) в момент времени 𝑡-τ. Тогда

𝑑𝑃

_τ

=

-

𝑅

𝑑𝑃

_τ

-

𝑑𝑃

_τ

,

𝑑τ

𝑑𝑧

𝑑𝑡

(25)

и уравнение (21) принимает вид

𝑑𝑃

_τ

=

𝑑𝑃

_τ

'

𝑑τ

𝑑𝑡

(26)

Интегрируя по τ от τ=0 до τ=∞, для значения функции 𝑃 получаем

𝑃

=

-

∞

∫

0

𝑑𝑃_τ

𝑑𝑡

𝑑τ

,

(27)

откуда, дифференцируя, как это делалось в уравнениях (3), (9) и т.д., находим все свойства токового листа.

664. В качестве примера рассмотренного здесь процесса возьмём случай одиночного магнитного полюса единичной мощности, движущегося прямолинейно с постоянной скоростью.

Пусть в момент времени 𝑡 координаты полюса равны

ξ

=

𝔲(𝑡-τ)

,

η

=

0

,

ζ

=

𝑐

+

𝔪𝑡

.

Координаты изображения полюса, сформировавшегося в момент времени 𝑡-τ, будут

ξ

=

𝔲(𝑡-τ)

,

η

=

0

,

ζ

=

-(

𝑐

+

𝔪(𝑡-τ)

+

𝑅τ

).

и если 𝑟 - расстояние от точки (𝑥,𝑦,𝑧) до этого отображения, то

𝑡²

=

(𝑥-𝔲(𝑡-τ))²

+

𝑥²

+

(𝑧+𝑐+𝔪(𝑡-τ)+𝑅τ)²

.

Чтобы получить потенциал, обусловленный дорожкой изображений, мы должны подсчитать