+
𝐺₂𝑔₂𝑃₂(θ)
+
… .
Как найти 𝑀 через эллиптические интегралы
701. Когда расстояние между периметрами двух кругов соизмеримо с радиусом меньшего из них, приведённые здесь ряды не сходятся достаточно быстро. В любом случае, однако, мы можем найти выражение 𝑀 для двух параллельных окружностей через эллиптические интегралы.
Действительно, пусть 𝑏 - длина линии, соединяющей центры окружностей, пусть эта линия перпендикулярна плоскостям обеих окружностей и пусть 𝐴 и 𝑎 - радиусы окружностей; тогда
𝑀
=
∬
cos ε
𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
,
где интегрирование проводится по обеим замкнутым кривым.
В этом случае
𝑟²
=
𝐴²
+
𝑎²
+
𝑏²
-
2𝐴𝑎
cos(φ-φ')
,
ε
=
φ-φ'
,
𝑑𝑠
=
𝑎
𝑑φ
,
𝑑𝑠'
=
𝐴
𝑑φ'
,
𝑀
=
2π
∫
0
2π
∫
0
𝐴𝑎 cos(φ-φ')𝑑φ𝑑φ'
√𝐴²+𝑎²+𝑏²-2𝐴𝑎 cos(φ-φ')
=
=
-4π
√
𝐴𝑎
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝑐
-
2
𝑐
⎞
⎟
⎠
𝐹
+
2
𝑐
𝐸
⎫
⎬
⎭
,
где
𝑐
=
2√𝐴𝑎
√(𝐴+𝑎)²+𝑏²
,
а 𝐹 и 𝐸 - полные эллиптические интегралы модуля 𝑐.
Отсюда, помня, что
𝑑𝐹
𝑑𝑐
=
1
𝑐(1-𝑐²)
{𝐸-(1-𝑐²)𝐹}
,
𝑑𝐸
𝑑𝑐
=
1
𝑐
(𝐸-𝐹)
,
и что 𝑐 есть функция 𝑏, мы находим
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
π
√𝐴𝑎
𝑏𝑐
1-𝑐²
{
(2-𝑐²)𝐸
-
2(1-𝑐²)𝐹
}.
Если обозначить через 𝑟₁ и 𝑟₂ наибольшее и наименьшее значения 𝑟, т.е.
𝑟₁²=(𝐴+𝑎)²+𝑏²
,
𝑟₂²=(𝐴-𝑎)²+𝑏²
,
и через γ - угол, у которого cos γ=𝑟₂/𝑟₁, то
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
-π
𝑏 sin γ
√𝐴𝑎
{
2𝐹
γ
-
(1+sec²γ)𝐸
γ
},
где 𝐹γ и 𝐸γ - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, модули которых равны sin γ.
Если 𝐴=𝑎, то ctg γ=𝑏/(2𝑎) и
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
-2π
cos γ
{
2𝐹
γ
-
(1+sec²γ)𝐸
γ
}.
Величина -𝑑𝑀/𝑑𝑏 характеризует притяжение двух параллельных круговых контуров, в каждом из которых сила тока равна единице.
Ввиду важности величины 𝑀 для электромагнитных вычислений значения ln (𝑀/4π√𝐴𝑎), являющегося функцией 𝑏 и, следовательно, только γ, протабулированы в интервале углов γ от 60 до 90 градусов через 6'.
Второе выражение для 𝑀
Другое выражение для 𝑀, иногда более удобное, получается, если положить 𝑐₁=(𝑟₁-𝑟₂)/(𝑟₁+𝑟₂); в этом случае
𝑀
=
8π
√
𝐴𝑎
1
√𝑐₁
{
𝐹(𝑐₁)
+
𝐸(𝑐₁)
}.
Как проводить линии магнитной силы для кругового тока
702. Линии магнитной силы лежат, очевидно, в плоскостях, проходящих: через ось окружности; вдоль каждой из этих линий величина 𝑀 постоянна.
Вычислим величину
𝐾
θ
=
sin θ
(𝐹sin θ-𝐸sin θ)²
из таблицы Лежандра для достаточно большого числа значений θ.
Нанесём на листе бумаги оси прямоугольной системы координат 𝑥 и 𝑧; построим окружность с центром в точке 𝑥=(𝑎/2)(sin θ+cosec θ) с радиусом (𝑎/2)(sin θ-cosec θ). Для всех точек этой окружности величина 𝑐₁ будет равна, sin θ. Следовательно, для всех точек этой окружности
𝑀
=
8π
√
𝐴𝑎
1
√𝐾θ
,
𝐴
=
1
64π²
𝑀²𝐾θ
𝑎
.
Теперь 𝐴 является тем значением 𝑥, для которого была найдена величина 𝑀. Таким образом, если мы проведём линию, на которой 𝑥=𝐴, она пересечёт окружность в двух точках, имеющих заданное значение 𝑀.
Задавая последовательно значения величины 𝑀, меняющиеся по закону арифметической прогрессии, для 𝐴 получим последовательность квадратов. Поэтому рисуя, семейство линий, параллельных 𝑧, на которых 𝑥 принимает найденные значения 𝐴, мы получим, что точки, в которых эти линии пересекаются с окружностью, будут именно теми точками, в которых эту окружность пересекают соответствующие линии силы.
Если положить 𝑚=8π𝑎 и 𝑀=𝑛𝑚, то 𝐴=𝑥=𝑛²𝐾θ𝑎.. Величину 𝑛 мы можем назвать индексом линии силы.
Вид этих линий показан на рис. XVIII в конце тома. Они воспроизведены с рисунков, данных сэром У. Томсоном в его статье о «Вихревом движении» 2.
2Trans. R. S. Edin., vol XXV, p. 217 (1869).
703. Если положение окружности, ось которой известна, считать заданным через расстояние 𝑏 от её центра до какой-либо фиксированной точки на оси и через её радиус 𝑎, то коэффициент индукции 𝑀 окружности по отношению к произвольной системе, состоящей из магнитов или токов, подчиняется следующему уравнению:
𝑑²𝑀
𝑑𝑎²
+
𝑑²𝑀
𝑑𝑏²
-
1
𝑎
𝑑𝑀
𝑑𝑎
=
0.
(1)
Чтобы доказать это, посмотрим, какое число линий магнитной силы будет пересекать окружность, если менять 𝑎 или 𝑏.
(1). Пусть а становится равным 𝑎+δ𝑎, а 𝑏 остаётся постоянным. При такой вариации окружность, расширяясь, прочертит в своей плоскости кольцевую площадку шириной δ𝑎.
Если через 𝑉 обозначить магнитный потенциал в произвольной точке, а ось 𝑦 направить параллельно оси окружности, то магнитная сила, перпендикулярная плоскости кольца, будет равна -𝑑𝑉/𝑑𝑦.
Для того чтобы найти поток магнитной индукции через эту кольцевую поверхность, мы должны взять интеграл
-
2π
∫
0
𝑎δ𝑎
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑θ
,
где θ есть угловое положение точки на кольце.
Но эта величина представляет собой вариацию 𝑀, обусловленную изменением 𝑎, т.е. (𝑑𝑀/𝑑𝑎)δ𝑎. Отсюда
𝑑𝑀
𝑑𝑎
=-
2π
∫
0
𝑎
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑θ
.
(2)
(2). Пусть 𝑏 принимает значение 𝑏+δ𝑏, а 𝑎 остаётся постоянным. При такой вариации окружность прочерчивает цилиндрическую поверхность радиуса 𝑎 длиной δ𝑏.
Магнитная сила, перпендикулярная к этой поверхности, равна в любой точке величине 𝑑𝑉/𝑑𝑟, где 𝑟 - расстояние от оси.
Отсюда
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
2π
∫
0
𝑎
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑θ
.
(3)
