2Mémoires de l'Institut, 1824, p. 247.
Если они являются вытянутыми телами, повёрнутыми в одном общем для них направлении, или если в одном из направлений они уплотнены сильнее, чем в другом, то среда, как показал сам Пуассон, не будет изотропной. Поэтому, чтобы избежать бесполезной запутанности, Пуассон рассматривает случай, когда все элементы являются сферическими и равномерно распределёнными по всем направлениям. Он предполагает, что полный объём всех магнитных элементов в единице объёма вещества равен 𝑘.
В п. 314 мы уже рассмотрели электрическую проводимость среды, внутри которой распределены маленькие сферы другой среды.
Для случая, когда проводимость среды равна μ1, а проводимость сфер μ2, мы получили, что проводимость составной среды равна
μ
=
μ
1
2μ1+μ2+2𝑘(μ2-μ1)
2μ1+μ2-𝑘(μ2-μ1)
.
При μ1=1 и μ2=∞ это даёт
μ
=
1+2𝑘
1-𝑘
Эта величина μ определяет электрическую проводимость среды, состоящей из идеально проводящих сфер, распределённых в среде с единичной проводимостью, причём суммарный - агрегатный - объём всех сфер в единице объёма равен 𝑘.
Величина μ также представляет собой коэффициент магнитной индукции среды, состоящей из сфер с бесконечной проницаемостью, рассеянных в среде с проницаемостью, равной единице.
Величина 𝑘, которую мы будем называть Магнитным Коэффициентом Пуассона, представляет собой отношение объёма магнитных элементов к полному объёму вещества.
Величина ϰ известна как Коэффициент Индуцированной Намагниченности Неймана. Она более удобна, чем коэффициент Пуассона.
Величину μ мы будем называть Коэффициентом Магнитной Индукции. Её преимущество состоит в том, что она облегчает преобразование магнитных задач в соответствующие электрические и тепловые.
Соотношения между этими величинами таковы:
𝑘
=
4πϰ
4πϰ+3
,
𝑘
=
μ-1
μ+2
,
ϰ
=
μ-1
4π
,
ϰ
=
3𝑘
4π(1-𝑘)
,
μ
=
1+2𝑘
1-𝑘
,
μ
=
4πϰ
+
1.
Если положить ϰ=32 (именно такое значение дают эксперименты Талена 3 с мягким железом), то получим 𝑘=135/136 Но по теории Пуассона эта величина должна быть равна отношению объёма, занимаемого магнитными молекулами, к полному объёму железа. Однако ведь невозможно заполнить какое-либо пространство одинаковыми сферами так плотно, чтобы отношение их объёма к объёму этого пространства было бы столь близко к единице. И совершенно невероятно, чтобы такая большая доля объёма железа была занята твёрдыми молекулами, какую бы форму они ни имели. В этом состоит одна из причин, по которой мы должны отказаться от гипотезы Пуассона. Другие будут приведены в главе VI. Но, конечно, при этом полностью сохраняется значение математических исследований Пуассона, ибо они основаны не на его гипотезе, а на экспериментальном факте наличия индуцированной намагниченности.
3Recherches sur les propriétés magnétiques du jer, Nova Acla, Upsal, 1863.
ГЛАВА V
ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
Полая сферическая оболочка
431. Первый пример полного решения задачи о магнитной индукции был дан Пуассоном для случая полой сферической оболочки, находящейся под воздействием произвольных магнитных сил.
Для простоты будем считать, что источник магнитной силы расположен во внешнем по отношению к оболочке пространстве.
Если обозначить через 𝑉 потенциал, создаваемый внешней магнитной системой, то его можно будет разложить в ряд по пространственным гармоникам следующего вида:
𝑉
=
𝐶
0
𝑆
0
+
𝐶
1
𝑆
1
𝑟
+и т.д. +
𝐶
𝑖
𝑆
𝑖
𝑟
𝑖
,
(1)
где 𝑟 - расстояние от центра оболочки, 𝑆𝑖 - поверхностная гармоника 𝑖-гo порядка, 𝐶𝑖 - коэффициент.
Этот ряд будет сходящимся при условии, что 𝑟 меньше расстояния до ближайшего из магнитов, создающих данный потенциал. Следовательно, для полой сферической оболочки он сходится и на самой оболочке, и в области внутри неё.
Обозначим через 𝑎2 внешний радиус оболочки, через 𝑎1 - внутренний радиус и через Ω - потенциал, создаваемый индуцированной в ней намагниченностью. Во внутреннем пространстве, внутри вещества оболочки, и во внешнем пространстве вид функции Ω, вообще говоря, различен. Разложив эти функции в ряды по гармоникам и сосредоточив своё внимание на членах, содержащих поверхностную гармонику 𝑆𝑖, мы увидим, что потенциал Ω1, относящийся к полости внутри оболочки, следует разлагать по положительным гармоникам вида 𝐴1𝑆𝑖𝑟𝑖, поскольку внутри сферы радиуса 𝑎1 он не должен обращаться в бесконечность.
В веществе оболочки, где значения 𝑟 лежат между 𝑎1 и 𝑎2, ряд может содержать как положительные, так и отрицательные степени 𝑟 вида 𝐴2𝑆𝑖𝑟𝑖+𝐵2𝑆𝑖𝑟-(𝑖+1).
Вне оболочки, где 𝑟 больше 𝑎2, разложение должно сходиться при сколь угодно больших 𝑟, и поэтому мы должны брать только отрицательные степени 𝑟 вида 𝐵3𝑆𝑖𝑟-(𝑖+1)
Функция ω должна удовлетворять следующим условиям: (1°) быть конечной, (2°) быть непрерывной, (3°) обращаться в нуль на бесконечном расстоянии и (4°) везде удовлетворять уравнению Лапласа.
Из условия (1°) следует
𝐵
1
=
0.
Из условия (2°) при 𝑟=𝑎1
(
𝐴
1
-
𝐴
2
)
𝑎
2𝑖+1
1
-
𝐵
2
=
0
(2)
и при 𝑟=𝑎2
(
𝐴
2
-
𝐴
3
)
𝑎
2𝑖+1
2
+
𝐵
2
-
𝐵
3
=
0.
(3)
Из условия (3°) следует 𝐴2, а условие (4°) выполнено всюду, так как все эти функции являются гармоническими.
Помимо этих условий, существуют и другие, которым в силу уравнения (10) п. 427 необходимо удовлетворить на внешней и внутренней сторонах оболочки.
На внутренней поверхности при 𝑟=𝐴1.
(1+4πϰ)
𝑑Ω2
𝑑𝑟
-
𝑑Ω1
𝑑𝑟
+
4πϰ
𝑑𝑉
𝑑𝑟
=
0.
(4)
на внешней поверхности при 𝑟=𝑎2
-(1+4πϰ)
𝑑Ω2
𝑑𝑟
+
𝑑Ω3
𝑑𝑟
-
4πϰ
𝑑𝑉
𝑑𝑟
=
0.
Из этих условий получаем уравнения
