,
где ε - угол между вектором 𝑄𝑃 (или 𝑟) и внешней нормалью, выходящей из положительной стороны оболочки.
Но если 𝑑ω есть телесный угол с вершиной в точке 𝑃, опирающийся на элемент 𝑑𝑆, то 𝑟²𝑑ω=𝑑𝑆 cos ε, отсюда 𝑑𝑉=Φ𝑑ω, и, следовательно, в случае простой магнитной оболочки имеем 𝑉=Φω, или потенциал в произвольной точке, обусловленный магнитной оболочкой, равен произведению её мощности на телесный угол с вершиной в этой точке, опирающийся на край оболочки 2.
2 Этой теоремой мы обязаны Гауссу,- General Theory of Terrestrial Magnetism, § 38.
410. Этот же результат можно получить другим путём, предположив, что магнитная оболочка помещена в произвольное поле магнитной силы, и определив потенциальную энергию, связанную с положением оболочки.
Если 𝑉 - потенциал на элементе 𝑑𝑆, то энергия, связанная с этим элементом, равна
Φ
⎛
⎜
⎝
𝑙
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝑚
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
𝑛
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
,
или произведению мощности оболочки на часть поверхностного интеграла от 𝑑𝑉/𝑑ν, связанную с элементом 𝑑𝑆 оболочки.
Следовательно, интегрируя по всем таким элементам, мы получим, что энергия, обусловленная положением оболочки в поле, равна произведению мощности оболочки на поверхностный интеграл от магнитной индукции, взятый по поверхности оболочки.
Так как для любых двух поверхностей, имеющих одну и ту же границу и не содержащих между собой какого-нибудь центра силы, поверхностный интеграл одинаков, то действие магнитной оболочки зависит только от формы её границы.
Предположим теперь, что поле силы создаётся магнитным полюсом мощности 𝑚. Мы уже видели (п. 76), что поверхностный интеграл по поверхности, ограниченной заданной кривой, равен произведению мощности полюса на телесный угол с вершиной в точке полюса, опирающийся на эту границу. Поэтому энергия взаимодействия полюса и оболочки равна Φ𝑚ω, а это, по теореме Грина, равно произведению мощности полюса на потенциал, обусловленный оболочкой в точке полюса. Таким образом, потенциал обусловленный оболочкой, равен Φω.
411. Если магнитный полюс 𝑚 из точки, находящейся на отрицательной стороне поверхности, начинает перемещаться по произвольному пути в пространстве и, обогнув край оболочки, возвращается в точку близкую к начальной, но уже находящуюся на положительной стороне оболочки, то телесный угол будет непрерывно меняться и возрастёт в процессе обхода на 4π. Работа, совершенная полюсом, окажется равной 4πΦ𝑚, а потенциал в произвольной точке на положительной стороне оболочки будет превышать потенциал в соседней к ней точке, находящейся на отрицательной стороне, на величину 4πΦ.
Если магнитная оболочка образует замкнутую поверхность, потенциал вне её всюду равен нулю, а в пространстве внутри неё - всюду равен 4πΦ, будучи положительным, когда оболочка обращена внутрь положительной стороной. Следовательно, такая оболочка не оказывает действия на магнит, помещённый внутри неё или снаружи.
412. Если магнит можно разделить на простые магнитные оболочки, либо замкнутые, либо выходящие своими краями на поверхность магнита, то распределение магнетизма называется Слоистым (ламеллярным). Если φ - сумма мощностей всех оболочек, пересекаемых движущейся точкой при её перемещении по линии, расположенной внутри магнита, от заданной точки до точки (𝑥,𝑦,𝑧), то условия ламеллярности таковы: 𝐴=𝑑φ/𝑑𝑥, 𝐵=𝑑φ/𝑑𝑦, 𝐶=𝑑φ/𝑑𝑧.
Величину φ, которая таким образом, полностью определяет намагниченность в любой точке, можно назвать Потенциалом Намагниченности. Его следует тщательно отличать от Магнитного Потенциала.
413. Про магнит, который можно разделить на сложные магнитные оболочки, говорят, что он имеет сложное ламеллярное распределение магнетизма. Условие такого распределения состоит в том, чтобы линии намагниченности допускали построение системы поверхностей, пересекающих их под прямым углом; это выражается хорошо известным уравнением
𝐴
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐶
𝑑𝑦
-
𝑑𝐵
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
𝐵
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐴
𝑑𝑧
-
𝑑𝐶
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝐶
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐵
𝑑𝑥
-
𝑑𝐴
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
=
0.
Вид потенциалов соленоидальных и ламеллярных магнитов
414. Общее выражение для скалярного потенциала магнита имеет вид
𝑉
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝐴
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+
𝐵
𝑑𝑝
𝑑𝑦
+
𝐶
𝑑𝑝
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где 𝑝 обозначает потенциал, создаваемый в точке (𝑥,𝑦,𝑧) единичным магнитным полюсом, помещённым в (ξ,η,ζ) или, другими словами, обратное расстояние между точкой (ξ,η,ζ), в которой измеряется потенциал, и точкой (𝑥,𝑦,𝑧), в которой расположен элемент магнита, создающий этот потенциал.
Это выражение можно проинтегрировать по частям, как в п. 96, 386:
𝑉
=
∬
𝑝
(
𝐴𝑙
+
𝐵𝑚
+
𝐶𝑛
)
𝑑𝑆
-
-
∭
𝑝
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐴
𝑑𝑥
+
𝑑𝐵
𝑑𝑦
+
𝑑𝐶
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали, проведённой наружу от элемента поверхности магнита 𝑑𝑆.
В случае соленоидального магнита выражение под знаком интеграла во втором члене равно нулю для всех точек внутри магнита, так что тройной интеграл равен нулю, а скалярный потенциал в любой точке как вне, так и внутри магнита задаётся поверхностным интегралом, стоящим в первом члене.
Таким образом, скалярный потенциал соленоидального магнита полностью определён, если в каждой точке поверхности известна нормальная составляющая намагниченности, и этот потенциал не зависит от формы соленоидов внутри магнита.
415. В случае ламеллярного магнита намагниченность определяется потенциалом намагниченности φ, так что 𝐴=𝑑φ/𝑑𝑥, 𝐵=𝑑φ/𝑑𝑦, 𝐶=𝑑φ/𝑑𝑧.
Выражение для 𝑉 можно поэтому переписать в виде
𝑉
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑φ
𝑑𝑥
⋅
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+
𝑑φ
𝑑𝑦
⋅
𝑑𝑝
𝑑𝑦
+
𝑑φ
𝑑𝑧
⋅
𝑑𝑝
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Интегрируя это выражение по частям, находим
𝑉
=
∬
φ
⎛
⎜
⎝
𝑙
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+
𝑚
𝑑𝑝
𝑑𝑦
+
𝑛
𝑑𝑝
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
-
-
∭
φ
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑝
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑝
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑝
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Второй член равен нулю, если точка (ξ,η,ζ) не принадлежит магниту, в противном случае он равен 4πφ, где φ - значение φ в точке (ξ,η,ζ). Поверхностный интеграл можно выразить через величину 𝑟, равную длине отрезка между точками (𝑥,𝑦,𝑧) и (ξ,η,ζ), и через угол θ, который этот отрезок образует с внешней нормалью к элементу поверхности 𝑑𝑆, так что потенциал можно записать в виде
