𝑌
=
𝑤α
-
𝑢γ
,
𝑍
=
𝑢β
-
𝑣α
.
(22)
Это составляющие механической силы, отнесённые к единице объёма вещества. Составляющие магнитной силы равны α, β, γ, а составляющие электрического тока - 𝑢, 𝑣, 𝑤. Эти уравнения идентичны полученным ранее уравнениям (С) п. 603.
645. При объяснении электромагнитной силы с помощью напряжённого состояния среды мы всего лишь следуем концепции Фарадея 1 о том, что линии магнитной силы стремятся сокращаться и что эти линии отталкиваются, будучи помещёнными вплотную друг к другу. Всё, что мы проделали, сводится к представлению в математической форме величин натяжения вдоль линий и давления, им перпендикулярного, а также к доказательству того, что напряжённое состояние, которое, по предположению, существует в среде, действительно будет давать наблюдаемые силы, действующие на проводники с электрическими токами.
1Exp. Res., 3266, 3267, 3268.
Мы ещё ничего не утверждали относительно способов создания и поддержания в среде этого напряжённого состояния. Мы просто показали, что взаимодействие электрических токов можно представлять как зависящее от особого вида напряжения в окружающей среде, а не как прямое и мгновенное действие на расстоянии.
Любое дальнейшее объяснение напряжённого состояния с использованием движения среды или чего-то иного должно рассматриваться уже как отдельный и независимый раздел теории, который может либо выстоять, либо потерпеть поражение, но не может повлиять на занимаемую нами сейчас позицию, см. п. 832.
В первой части нашего трактата, в п. 108, мы показали, что действие наблюдаемых электрических сил можно понимать как результат распространения в окружающей среде состояния напряжения. Теперь мы проделали то же самое для электромагнитных сил; остаётся лишь убедиться, является ли такое представление о среде, способной поддерживать это напряжённое состояние, совместимым с другими известными явлениями или мы должны отставить его в сторону как бесплодное.
Мы должны предположить, что в поле, в котором имеет место и электростатическое, и электромагнитное действие, электростатическое напряжение, описанное в части I, налагается на электромагнитное напряжение, которое мы рассматриваем.
646. Если мы предположим, что полная земная магнитная сила равна 10 Британским единицам (гран, фут, секунда), чему она примерно и равна в Британии, то натяжение вдоль силовых линий равно 0,128 гран веса на квадратный фут. Максимальное магнитное натяжение, созданное Джоулем 2, с помощью электромагнитов составляло около 140 фунтов веса на квадратный дюйм.
2 Sturgeon’s Annals of Electricity, vol. V, p. 187 (1840); or Philosophical Magazine, Dec. 1851.
ГЛАВА XII
ТОКОВЫЕ ЛИСТЫ
647. Токовый лист - это бесконечно тонкий слой проводящей материи, ограниченный с обеих сторон изолирующей средой; электрические токи могут течь по листу и не могут его покинуть нигде, за исключением некоторых точек, называемых электродами. Через электроды осуществляется ввод токов в лист и вывод их из листа.
Для того чтобы пропускать конечный электрический ток, реальный лист должен иметь конечную толщину и потому должен рассматриваться как проводник, имеющий три измерения. Однако во многих случаях практически удобно находить электрические характеристики реального проводящего листа или тонкого слоя проводов, образующих катушку, исходя из характеристик токового листа, определённого выше.
В связи с этим мы можем поверхность любой формы рассматривать как некоторый токовый лист. Выбрав одну из сторон листа в качестве положительной, мы будем считать, что любые линии, проведённые на поверхности, всегда наблюдаются с её положительной стороны. В случае замкнутых поверхностей положительной мы будем считать внешнюю сторону поверхности. См., однако, п. 294, где направление тока определено в предположении, что мы наблюдаем его с отрицательной стороны листа.
Функция тока
648. Выберем за начало отсчёта на поверхности некоторую фиксированную точку 𝐴 и проведём на поверхности линию из точки 𝐴 в другую точку 𝑃. Обозначим через φ количество электричества, пересекающее эту линию слева направо в единицу времени. Величина φ называется функцией тока в точке 𝑃.
Функция тока зависит только от положения точки 𝑃; она одинакова для любых двух линий 𝐴𝑃 произвольной формы при условии, что эти линии могут быть преобразованы одна в другую путём непрерывного перемещения, при котором не пересекаются электроды. Действительно, если две линии охватывают площадь, не содержащую электродов, то количество электричества, которое входит внутрь этой площади через одну из линий, должно выйти через другую линию.
Пусть 𝑠 обозначает длину линии 𝐴𝑃; тогда ток, протекающий через 𝑑𝑠 слева направо, будет равен (𝑑φ/𝑑𝑠)𝑑𝑠.
Постоянство φ на какой-либо кривой означает отсутствие тока, протекающего через эту кривую. Поэтому её называют Линией Тока, или Линией Потока.
649. Пусть ψ есть электрический потенциал в некоторой точке листа; тогда электродвижущая сила вдоль элемента 𝑑𝑠 некоторой кривой будет равна -(𝑑ψ/𝑑𝑠)𝑑𝑠 при условии, что нет никаких других электродвижущих сил, кроме той, которая обусловлена разностью потенциалов.
Если вдоль некоторой кривой величина ψ постоянна, то эту кривую называют Эквипотенциальной Линией.
650. Мы можем теперь предположить, что положение точки на листе определяется значениями φ и ψ в этой точке. Пусть 𝑑𝑠1 - длина элемента эквипотенциальной линии ψ, заключённого между двумя линиями тока φ и φ+𝑑φ а 𝑑𝑠2 - длина элемента токовой линии φ, заключённого между двумя эквипотенциальными линиями ψ и ψ+𝑑ψ. Мы можем рассматривать 𝑑𝑠1 и 𝑑𝑠2 как стороны элемента листа 𝑑φ𝑑ψ. Электродвижущая сила -𝑑ψ в направлении 𝑑𝑠2 создаёт ток 𝑑φ, пересекающий 𝑑𝑠1.
Пусть сопротивление участка листа длиной 𝑑𝑠2 и шириной 𝑑𝑠1 равно σ(𝑑𝑠2/𝑑𝑠1), где σ - удельное сопротивление листа на единицу площади; тогда
𝑑ψ
=
σ
𝑑𝑠2
𝑑𝑠1
𝑑φ
,
откуда
𝑑𝑠1
𝑑φ
=
σ
𝑑𝑠2
𝑑ψ
.
651. Если лист состоит из вещества, одинаково хорошо проводящего во всех направлениях, то элемент 𝑑𝑠1 перпендикулярен 𝑑𝑠2. В случае листа с однородной проводимостью величина σ постоянна, и, положив ψ=σψ', мы будем иметь
δ𝑠1
δ𝑠2
=
δφ
δφ'
,
линии потока и эквипотенциальные линии рассекают поверхность на маленькие квадратики.
Отсюда следует, что если φ1 и ψ1' являются функциями, сопряжёнными φ и ψ' (п. 183), то кривые ψ1' могут быть линиями потока на том листе, где кривые являются соответствующими эквипотенциальными линиями. Один случай - это, конечно, тот, в котором φ1=φ', а ψ1'=-φ. В этом случае эквипотенциальные линии становятся линиями тока, а линии тока - эквипотенциальными линиями 1.
1 См. Thomson, Camb. Math. Journ., vol. III, p. 286.
Получив решение для распределения электрических токов в однородном листе произвольной формы для любого частного случая, мы можем вывести распределение токов для любого другого случая при помощи надлежащего преобразования сопряжённых функций в соответствии с методом, описанным в п. 190.
652. Далее мы должны определить магнитное действие токового листа, у которого ток целиком сосредоточен на самом листе, т.е. отсутствуют электроды, подводящие и отводящие ток.
