В этом случае функция тока φ имеет в каждой точке определённое значение, а линии потока являются замкнутыми и не пересекают друг друга, хотя какая-то одна линия потока может иметь самопересечение.

Рассмотрим кольцевой участок листа, расположенный между линиями потока φ и φ+δφ. Эта часть листа представляет собой проводящий контур, в котором ток силою δφ циркулирует в положительном направлении вокруг участка листа, где величина φ больше данного значения. Магнитное действие этого контура совпадает с действием магнитной оболочки, имеющей мощность δφ в любой точке, за исключением точек внутри вещества оболочки. Предположим, что оболочка совпадает с той частью токового листа, на которой значение φ больше, чем на заданной линии потока.

Нанося последовательно все линии потока, начиная с той, для которой значение φ максимально, и кончая линией с наименьшим значением φ, мы разделим токовый лист на семейство контуров. Заменяя каждый из них соответствующей ему магнитной оболочкой, мы находим, что магнитное действие токового листа в любой точке, не находящейся в толще листа, такое же, как действие сложной магнитной оболочки, мощность которой в любой точке равна 𝐶+φ, где 𝐶 - некоторая константа.

Если токовый лист ограничен, мы должны положить на граничной кривой 𝐶+φ=0. Если лист образует замкнутую или бесконечную поверхность, то для определения постоянной 𝐶 нет никаких данных.

653. Магнитный потенциал в произвольной точке на любой из сторон токового листа даётся, согласно п. 415, выражением

Ω

=

∬

1

𝑟²

φcos θ

𝑑𝑆

.

где 𝑟 - есть расстояние до данной точки от элемента поверхности 𝑑𝑆, а θ - угол между направлением 𝑟 и направлением нормали, проведённой с положительной стороны 𝑑𝑆.

Это выражение даёт магнитный потенциал во всех точках, не входящих в толщу листа, а мы знаем, что для точек внутри проводника, несущего ток, такого понятия, как магнитный потенциал, не существует.

Величина Ω разрывна на токовом листе, ибо если Ω₁ есть её значение в некоторой точке непосредственно внутри токового листа, а Ω₂ - её значение в точке, близкой к первой, но расположенной вне токового листа, то Ω₂=Ω₁=4πφ, где φ есть функция тока в этой точке листа.

Значение составляющей магнитной силы, нормальной к листу, является непрерывным, т.е. одинаковым на обеих сторонах листа. Составляющая магнитной силы, параллельная линиям тока, тоже непрерывна, но тангенциальная составляющая, перпендикулярная линиям тока на листе, разрывна. Если 𝑠 -длина некоторой проведённой на листе кривой, то составляющая магнитной силы в направлении 𝑑𝑠 на отрицательной стороне листа равна -(𝑑Ω₁/𝑑𝑠), а на положительной стороне

-

𝑑Ω₂

𝑑𝑠

=

-

𝑑Ω₁

𝑑𝑠

-

4π

𝑑φ

𝑑𝑠

.

Составляющая магнитной силы на положительной стороне превышает, таким образом, составляющую магнитной силы на отрицательной стороне на величину 4π(𝑑φ/𝑑𝑠) которая максимальна в данной точке, когда элемент 𝑑𝑠 перпендикулярен линиям тока.

О наведении электрических токов в листе с бесконечной проводимостью

654. Как было показано в п. 579, в любом контуре

𝐸

=

𝑑𝑝

𝑑𝑡

+

𝑅𝑖

,

где 𝐸 - приложенная электродвижущая сила, 𝑝 - электрокинетический импульс (количество движения) контура, 𝑅 - сопротивление контура, 𝑖 - ток, текущий по нему. Если отсутствуют приложенная электродвижущая сила и сопротивление, 𝑑𝑝/𝑑𝑡=0 или величина 𝑝 постоянна.

Далее, в п. 588 было показано, что электрокинетический импульс контура 𝑝 измеряется поверхностным интегралом от магнитной индукции, пронизывающей контур. Следовательно, в случае токового листа без сопротивления поверхностный интеграл от магнитной индукции сквозь любую замкнутую кривую, проведённую на поверхности листа, должен быть постоянным; это означает, что в каждой точке токового листа нормальная составляющая магнитной индукции остаётся величиной постоянной.

655. Таким образом, если благодаря перемещению магнитов или изменению текущих поблизости токов магнитное поле каким-то образом меняется, то в токовом листе возникнут такие электрические токи, что их магнитное действие совместно с действием магнитов или токов в поле будет поддерживать неизменной нормальную составляющую магнитной индукции в каждой точке листа. Если же вначале не было никакого магнитного действия и не было токов в листе, то нормальная составляющая магнитной индукции всегда будет равна нулю во всех точках листа.

Поэтому такой лист можно считать непроницаемым для магнитной индукции; линии магнитной индукции будут отклоняться им точно так же, как отклонялись бы линии потока электрического тока в бесконечной и однородной проводящей среде при введении листа такой же формы, но изготовленного из вещества с бесконечным сопротивлением.

Если лист образует замкнутую или бесконечную поверхность, то любое магнитное действие, имеющее место по одну сторону листа, не произведёт никаких магнитных эффектов по другую его сторону.

Теория плоского токового листа

656. Мы уже знаем, что внешнее магнитное действие токового листа эквивалентно действию магнитной оболочки, мощность которой в каждой её точке численно равна величине функции тока φ. Когда лист плоский, мы можем выразить все величины, необходимые для определения электромагнитных эффектов, через одну-единственную функцию 𝑃, которая является потенциалом, создаваемым слоем некоторой воображаемой материи, распределённой на этой плоскости с поверхностной плотностью φ. Величина 𝑃, разумеется, равна

𝑃

=

∬

φ

𝑟

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

,

(1)

где 𝑟 - расстояние от точки (𝑥,𝑦,𝑧), в которой вычисляется 𝑃, до точки (𝑥',𝑦',0), лежащей на плоскости листа, в которой берётся элемент интегрирования 𝑑𝑥'𝑑𝑦'.

Для отыскания магнитного потенциала мы можем рассматривать магнитную оболочку, как бы состоящую из двух поверхностей, параллельных плоскости 𝑥𝑦 первая плоскость (её уравнение 𝑧=𝑐/2) имеет поверхностную плотность φ/𝑐, а вторая плоскость (её уравнение 𝑧=-𝑐/2) имеет поверхностную плотность -φ/𝑐.

Потенциалы, обусловленные этими поверхностями, будут соответственно такими:

1

𝑐

𝑃

⎛

⎝

𝑧

-

𝑐

⎞

⎠

2

и

-

1

𝑐

𝑃

⎛

⎝

𝑧

-

𝑐

⎞

⎠

2

,

где индексы указывают на то, что в первом выражении вместо 𝑧 берется 𝑧-𝑐/2, а во втором 𝑧+𝑐/2. Разлагая эти выражения по теореме Тейлора и складывая их, сделаем затем величину 𝑐 бесконечно малой; тогда для магнитного потенциала, создаваемого листом в любой точке, расположенной вне его, получим

Ω

=

-

𝑑𝑃

𝑑𝑧

.

(2)

657. Величина 𝑃 симметрична относительно плоскости листа, поэтому при замене 𝑧 на -𝑧 она остаётся неизменной; магнитный потенциал Ω при замене 𝑧 на -𝑧 меняет знак.

На положительной поверхности листа

Ω

=

-

𝑑𝑃

𝑑𝑧

=

2πφ

.

(3)

На отрицательной поверхности листа