Ω
=
-
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
-2πφ
.
(4)
В пределах самого листа, если магнитные эффекты возникают из-за намагниченности его вещества, магнитный потенциал изменяется непрерывно от значения, равного 2πφ на положительной поверхности, до значения, равного -2πφ на отрицательной поверхности.
Если лист содержит электрические токи, магнитная сила внутри него не удовлетворяет условиям существования потенциала; однако сама магнитная сила в нём является совершенно определённой.
Её нормальная составляющая
γ
=
-
𝑑Ω
𝑑𝑧
=
𝑑²𝑃
𝑑𝑧²
(5)
одна и та же как на обеих сторонах листа, так и внутри его вещества.
Если α и β являются составляющими магнитной силы, параллельными 𝑥 и 𝑦 на положительной поверхности, а α', β', - аналогичные составляющие на отрицательной поверхности, то
α
=
-2π
𝑑φ
𝑑𝑥
=
-α'
.
(6)
β
=
-2π
𝑑φ
𝑑𝑦
=
-β'
.
(7)
Внутри листа эти составляющие меняются непрерывно от значений α и β до значений α' и β'.
Уравнения
𝑑𝐻
𝑑𝑦
-
𝑑𝐺
𝑑𝑧
=
-
𝑑Ω
𝑑𝑥
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
𝑑𝐹
𝑑𝑧
-
𝑑𝐻
𝑑𝑥
=
-
𝑑Ω
𝑑𝑦
,
𝑑𝐺
𝑑𝑥
-
𝑑𝐹
𝑑𝑦
=
-
𝑑Ω
𝑑𝑧
,
(8)
связывающие составляющие вектор-потенциала 𝐹, 𝐺, 𝐻, обусловленного токовым листом, со скалярным потенциалом Ω, удовлетворяются, если мы положим
𝐹
=
𝑑𝑃
𝑑𝑦
,
𝐺
=
-
𝑑𝑃
𝑑𝑥
,
𝐻
=
0.
(9)
Эти величины мы можем получить также непосредственным интегрированием; так, для 𝐹 имеем
𝐹
=
∬
𝑢
𝑟
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
=
∬
1
𝑟
𝑑φ
𝑑𝑦'
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
,
=
∫
φ
𝑟
𝑑𝑥'
-
∬
φ
𝑑
𝑑𝑦'
1
𝑟
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
.
Интеграл должен вычисляться для бесконечного плоского листа, а первый член на бесконечности исчезает, поэтому всё это выражение сводится к его второму члену. Заменяя
𝑑
𝑑𝑦
1
𝑟
на
𝑑
𝑑𝑦'
1
𝑟
и помня, что φ зависит от 𝑥' и 𝑦', но не зависит от 𝑥, 𝑦, 𝑧, мы получаем
𝐹
=
𝑑
𝑑𝑦
∬
φ
𝑟
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
,
=
𝑑𝑃
𝑑𝑦
, (согласно (1)).
Если Ω' есть магнитный потенциал, создаваемый какой-либо магнитной или электрической системой, расположенной вне листа, мы можем записать
𝑃'
=-
∫
Ω
𝑑𝑧
(10)
и тогда для составляющих вектор-потенциала, обусловленного этой системой, будем иметь
𝐹'
=
𝑑𝑃'
𝑑𝑦
,
𝐺'
=
-
𝑑𝑃'
𝑑𝑥
,
𝐻'
=
0.
(11)
658. Определим теперь электродвижущую напряжённость в произвольной точке листа, считая его неподвижным.
Пусть 𝑋 и 𝑌 будут составляющими электродвижущей напряжённости, параллельными соответственно 𝑥 и 𝑦, тогда, согласно п. 598, имеем
𝑋
=
-
𝑑
𝑑𝑡
(𝐹+𝐹')
-
𝑑ψ
𝑑𝑥
,
(12)
𝑌
=
-
𝑑
𝑑𝑡
(𝐺+𝐺')
-
𝑑ψ
𝑑𝑦
,
(13)
Если электрическое сопротивление листа однородно и равно σ, то
𝑌
=
σ𝑢
,
𝑍
=
σ𝑣
,
(14)
где 𝑢 и 𝑣 - составляющие тока, выражаемые через функцию тока ψ:
Но по уравнению (3) на положительной поверхности токового листа 2πφ=-𝑑𝑃/𝑑𝑧.
Следовательно, уравнения (12) и (13) могут быть записаны в форме
-
σ
2π
𝑑²𝑃
𝑑𝑦𝑑𝑧
=-
𝑑²
𝑑𝑦𝑑𝑡
(𝑃+𝑃')
-
𝑑ψ
𝑑𝑥
,
(16)
σ
2π
𝑑²𝑃
𝑑𝑥𝑑𝑧
=
𝑑²
𝑑𝑥𝑑𝑡
(𝑃+𝑃')
-
𝑑ψ
𝑑𝑦
,
(17)
где величины, стоящие во всех выражениях, соответствуют положительной поверхности листа.
Дифференцируя первое из этих уравнений по 𝑥 и второе уравнение по 𝑦, а затем складывая результаты, получаем
𝑑²ψ
𝑑𝑥²
+
𝑑²ψ
𝑑𝑦²
=
0.
(18)
Единственным решением этого уравнения, конечным и непрерывным в любой точке плоскости и исчезающим на бесконечном расстоянии от неё, является
ψ
=
0.
(19)
Следовательно, индуцирование электрических токов в бесконечном плоском листе с однородной проводимостью не сопровождается появлением разности электрических потенциалов между различными частями листа.
Подставляя это значение -ψ и интегрируя уравнения (16) и (17), мы получаем
σ
2π
𝑑𝑃
𝑑𝑧
-
𝑑𝑃
𝑑𝑡
-
𝑑𝑃'
𝑑𝑡
=
𝑓(𝑧,𝑡).
(20)
Поскольку величины токов в листе найдены дифференцированием по 𝑥 или 𝑦, то произвольная функция от 𝑧 и 𝑡 при этом исчезает, и мы не будем принимать её в расчёт.
Далее вместо σ/(2π) мы будем употреблять один символ 𝑅, который представляет собой некоторую скорость; тогда уравнение, связывающее 𝑃 и 𝑃', станет таким:
𝑅
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
𝑑𝑃
𝑑𝑡
+
𝑑𝑃'
𝑑𝑡
.
(21)
659. Предположим сначала, что нет внешних магнитных систем, действующих на токовый лист. Поэтому мы можем положить 𝑃'=0. Тогда приходим к случаю системы электрических токов в листе, предоставленных самим себе, но воздействующих друг на друга через взаимную индукцию и в то же самое время теряющих энергию из-за сопротивления листа. Результат выражается уравнением
