В случае медленных колебаний, таких, которые легко наблюдать, полное сопротивление, какими бы причинами оно ни было обусловлено, оказывается прямо пропорциональным скорости. И только когда скорость гораздо больше, чем при обычных колебаниях в электромагнитных приборах, появляются свидетельства в пользу того, что сопротивление пропорционально квадрату скорости.

Таким образом, мы должны исследовать движение тела под действием притяжения, меняющегося пропорционально расстоянию, и сопротивления, меняющегося пропорционально скорости.

731. Нижеследующее применение принципа Годографа, данное профессором Тэтом ¹ позволяет нам очень простым способом исследовать движение такого рода при помощи равноугловой спирали.

¹Proc. R. S. Edin., Dec. 16, 1867.

Пусть требуется найти ускорение частицы, которая описывает логарифмическую или равноугловую спираль, двигаясь с постоянной угловой скоростью ω вокруг полюса.

Эта спираль обладает тем свойством, что касательная 𝑃𝑇 образует постоянный угол α с радиус-вектором 𝑃𝑆 [рис. 57].

Рис. 57

Если скорость в точке 𝑃 равна 𝑣, то

𝑣⋅sin α

=

ω⋅𝑆𝑃

Следовательно, если мы проведём отрезок 𝑆𝑃', параллельный 𝑃𝑇 и равный 𝑆𝑃, то скорость в точке 𝑃 и по величине, и по направлению будет задана выражением

𝑣

=

ω

sin α

𝑆𝑃'

Таким образом, точка 𝑃' будет точкой на годографе. Но 𝑆𝑃' есть отрезок 𝑆𝑃, повёрнутый на постоянный угол π-α, так что годограф, описываемый точкой 𝑃', совпадает с исходной спиралью, повёрнутой вокруг полюса на угол π-α.

Ускорение точки 𝑃 по величине и по направлению представлено скоростью точки 𝑃', умноженной на тот же самый фактор ω/sin α.

Следовательно, если мы произведём над отрезком 𝑆𝑃' ту же самую операцию поворота на угол π-α в новое положение 𝑆𝑃'', то ускорение точки 𝑃 по величине и направлению будет равно

ω²

sin²α

𝑆𝑃''

,

где 𝑆𝑃'' есть отрезок 𝑆𝑃, повёрнутый на угол 2π-2α.

Проведя отрезок 𝑃𝐹, равный и параллельный 𝑆𝑃'', мы можем ускорение

ω²

sin²α

𝑃𝐹

,

разложить на

ω²

sin²α

𝑃𝑆

и

ω²

sin²α

𝑃𝐾

.

Первая из этих составляющих есть ускорение, направленное к центру 𝑆 и пропорциональное расстоянию.

Вторая составляющая направлена против скорости, и, поскольку

𝑃𝐾

=

2cos α

𝑃'𝑆

=-

sin α cos α

ω

𝑣

,

это ускорение можно записать так:

-2

ω cos α

sin α

𝑣

.

Ускорение частицы состоит, таким образом, из двух частей, первая из которых обусловлена силой притяжения μ𝑟, направленной к 𝑆 и пропорциональной расстоянию, а вторая, равная -2𝑘𝑣, является сопротивлением движению, пропорциональным скорости, где

μ

=

ω

sin²α

,

𝑘

=

ω

cos α

sin α

.

Если мы положим в этих выражениях α=π/2, орбита становится круговой, и мы имеем μ₀=ω₀², 𝑘=0.

Следовательно, если сила на единичном расстоянии остаётся той же самой, то μ=μ₀ и ω=ω₀sin α, т.е. угловая скорость на различных спиралях при одном и том же законе притяжения пропорциональна синусу угла спирали.

732. Если мы рассмотрим теперь движение точки, являющейся проекцией движущейся точки 𝑃 на горизонтальную линию 𝑋𝑌, то увидим, что её расстояние от 𝑆 и её скорость являются горизонтальными составляющими соответствующих величин для 𝑃. Следовательно, ускорение этой точки также состоит из притяжения, направленного к 𝑆 и равного расстоянию от 𝑆, взятому μ раз, и торможения, равного скорости, умноженной на 2𝑘.

Мы имеем, таким образом, завершённую конструкцию для описания прямолинейного движения точки, происходящего под действием притяжения, пропорционального расстоянию от некоторой фиксированной точки, и сопротивления, пропорционального скорости. Движение такой точки является горизонтальной проекцией движения другой точки, которая движется с постоянной угловой скоростью вдоль логарифмической спирали.

733. Уравнение спирали 𝑟=𝐶𝑒^{-φ ctg α}.

Чтобы определить горизонтальное движение, положим φ=ω𝑡, 𝑥=𝑎+𝑟sin φ, где 𝑎 - значение 𝑥 для точки равновесия.

Если мы проведём отрезок 𝐵𝑆𝐷, образующий с вертикалью угол α, то касательные 𝐵𝑋, 𝐷𝑌, 𝐺𝑍, … будут вертикальными, а точки 𝑋, 𝑌, 𝑍, … окажутся крайними точками последовательных осцилляций.

734. При наблюдении колеблющихся тел отмечаются:

(1). Показания шкалы в стационарных точках. Они называются элонгациями.

(2). Моменты прохождения определённого деления шкалы в положительном или отрицательном направлении.

(3). Показания шкалы в определённые моменты времени. Подобного рода наблюдения проводятся редко, лишь в случае колебаний с большим периодом ².

² См. Gauss and W. Weber, Resultate des magnetischen Vereins, 1836. Chap. II, p. 34-50.

Мы должны определить следующие величины:

(1). Показание шкалы в положении равновесия.

(2) Логарифмический декремент колебаний.

(3). Время одного колебания.

Как определить показание шкалы в положении равновесия через три последовательные элонгации

735. Допустим, мы засекли три показания шкалы 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, соответствующие элонгациям 𝑋, 𝑌, 𝑍, и пусть 𝑎 -показание в положении равновесия 𝑆, а 𝑟₁, -значение величины 𝑆𝐵, тогда

𝑥₁-𝑎

=

𝑟₁

sin α

,

𝑥₂-𝑎

=

𝑟₁

sin α

𝑒

^{-π ctg α}

,

𝑥₃-𝑎

=

𝑟₁

sin α

𝑒

^{-2π ctg α}

.

Из этих величин мы находим

(𝑥₁-𝑎)

(𝑥₃-𝑎)

=

(𝑥₂-𝑎)²

Откуда

𝑎

=

𝑥₁𝑥₃+𝑥₂²

𝑥₁+𝑥₃-2𝑥₂

.

Если 𝑥₃ не очень сильно отличается от 𝑥₁, мы можем пользоваться приближённой формулой

𝑎

=

¼(𝑥₁+2𝑥₂+𝑥₃)

.

Как найти логарифмический декремент

736. Логарифмическим декрементом называется логарифм отношения амплитуды какого-либо колебания к амплитуде следующего за ним колебания. Если мы обозначим это отношение через ρ:

ρ

=

𝑥₁-𝑥₂

𝑥₃-𝑥₂

,

𝐿

=

lg ρ

,

λ

=

ln ρ

,

то величина 𝐿 называется обычным логарифмическим декрементом, а величина λ - неперовским логарифмическим декрементом. Очевидно, что λ=𝐿 ln 10=π ctg α.

Следовательно, α=arcctg(λ/π) определяет угол логарифмической спирали.

Для определения величины λ нужно позволить телу совершить значительное число колебаний. Если 𝑐₁ - амплитуда первого, а 𝑐_𝑛 - амплитуда 𝑛 -го колебания, то