λ
=
1
𝑛-1
ln
⎛
⎜
⎝
𝑐₁
𝑐𝑛
⎞
⎟
⎠
.
Если мы предположим, что точность наблюдений при малых и при больших колебаниях одинакова, то для получения наилучшего значения λ мы должны были бы дать возможность затухать колебаниям до тех пор, пока отношение 𝑐₁ к 𝑐𝑛 не станет приближённо равным основанию натуральных логарифмов 𝑒. Это даёт для 𝑛 значение ближайшего к (1/λ)+1 целого числа.
Поскольку, однако, в большинстве случаев время дорого, то лучше провести другую серию наблюдений, не дожидаясь такого значительного уменьшения амплитуды.
737. В некоторых случаях может оказаться, что мы должны определить положение равновесия по двум соседним элонгациям, когда логарифмический декремент известен из специально проведённого опыта. Тогда мы имеем
𝑎
=
𝑥₁+𝑒λ𝑥₂
1+𝑒λ
.
Время одного колебания
738. После определения показания шкалы, соответствующего точке равновесия, в эту точку шкалы или как можно ближе к ней помещается хорошо различимая метка и для нескольких последовательных колебаний замечаются моменты прохождения этой метки.
Допустим, что метка смещена в положительном направлении от точки равновесия на неизвестное, но очень малое расстояние 𝑥, и пусть 𝑡₁ - зарегистрированный момент времени первого прохождения метки в положительном направлении, а 𝑡₂, 𝑡₃, … - моменты последующих прохождений.
Если 𝑇 - время одного колебания (полупериод), а 𝑃₁, 𝑃₂, 𝑃₃, … - моменты прохождения точки истинного равновесия, то
𝑡₁
=
𝑃₁
+
𝑥
𝑣₁
,
𝑡₂
=
𝑃₂
+
𝑥
𝑣₂
,
𝑃₂
-
𝑃₁
=
𝑃₃
-
𝑃₂
=
𝑇,
где 𝑣₁, 𝑣₂, … - последовательные значения скоростей прохождения, которые на очень малых расстояниях 𝑥 мы можем считать постоянными.
Если ρ есть отношение амплитуды какого-либо колебания к амплитуде последующего колебания, то
𝑣₂
=-
1
ρ
𝑣₁
и
𝑥
𝑣₂
=
-ρ
𝑥
𝑣₁
.
Если три прохождения наблюдались в моменты времени 𝑡₁, 𝑡₂, 𝑡₃, мы находим
𝑥
𝑣₁
=
𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃
(ρ+1)²
.
Следовательно, время одного колебания равно
𝑇
=
1
2
(𝑡₃-𝑡₁)
-
1
2
ρ-1
ρ+1
(𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃)
.
Момент второго прохождения истинной точки равновесия равен
𝑃₂
=
1
4
(𝑡₁+2𝑡₂+𝑡₃)
-
1
4
(ρ-1)²
(ρ+1)²
(𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃)
.
Для определения этих трёх величин достаточно трёх прохождений, однако любое большее число прохождений можно скомбинировать по методу наименьших квадратов. Так, для пяти прохождений
𝑇
=
1
10
(2𝑡₅+𝑡₄-𝑡₂-2𝑡₁)
-
-
1
10
(𝑡₁-2𝑡₂+2𝑡₃-2𝑡₄+𝑡₅)
ρ-1
ρ+1
⎛
⎜
⎝
2-
2
1+ρ²
⎞
⎟
⎠
.
Момент третьего прохождения при этом равен
𝑃₃
=
1
8
(𝑡₁+2𝑡₂+2𝑡₃+2𝑡₄+𝑡₅)
-
-
1
8
(𝑡₁-2𝑡₂+2𝑡₃-2𝑡₄+𝑡₅)
(ρ-1)²
(ρ+1)²
.
739. Этот же метод можно распространить и на серию, состоящую из любого числа колебаний. Если колебания настолько быстрые, что невозможно регистрировать момент каждого прохождения, мы можем засекать момент каждого третьего или каждого пятого прохождения, следя за тем, чтобы направления соседних регистрируемых прохождений были противоположны. Если колебания регулярно происходят в течение большого промежутка времени, то нет необходимости вести наблюдение всё это время. Мы можем начать с наблюдения достаточного числа прохождений, для того чтобы приближённо определить время одного колебания 𝑇 и момент среднего прохождения 𝑃, заметив, в каком направлении - положительном или отрицательном - оно происходит. Затем можно либо продолжать считать колебания, не отмечая моменты прохождения, либо вообще не следить за прибором. Далее мы наблюдаем вторую серию прохождений и находим время одного колебания 𝑇' и момент среднего прохождения 𝑃', замечая направление этого прохождения.
Если времена одного колебания 𝑇 и 𝑇', найденные из двух серий наблюдений, приближённо равны, мы можем перейти к более точному определению периода, комбинируя наблюдения двух серий.
Частное от деления 𝑃'-𝑃 на 𝑇 должно получиться очень близким к целому числу, чётному или нечётному в соответствии с тем, одинаковы или противоположны направления прохождений 𝑃 и 𝑃. Если это не так, то вся серия наблюдений бесполезна, но если результат очень близок к целому числу 𝑛, то, разделив 𝑃'-𝑃 на 𝑛, мы найдём значение 𝑇, среднее для всего времени колебаний.
740. Найденное таким образом время одного колебания 𝑇 является фактическим средним временем колебания; к нему необходимо вводить поправки, если мы хотим вывести из него время колебаний при бесконечно малых дугах в отсутствие затухания.
Чтобы свести наблюдаемое время к времени бесконечно малых колебаний, мы заметим, что время колебания с амплитудой 𝑐 от одного состояния покоя до другого обычно можно представить в виде 𝑇=𝑇₁(1+ϰ𝑐²), где ϰ - некоторый коэффициент, который в случае обычного маятника равен 1/64. Амплитуды следующих друг за другом колебаний равны 𝑐, 𝑐ρ-1, 𝑐ρ-2, …, 𝑐ρ1-𝑛, так что полное время колебаний равно
𝑛𝑇
=
𝑇₁
⎛
⎜
⎝
𝑛+ϰ
𝑐₁²ρ²-𝑐𝑛²
ρ²-1
⎞
⎟
⎠
,
где 𝑇 есть время, полученное из наблюдений.
Следовательно, для нахождения времени при бесконечно малых дугах 𝑇₁ мы приближённо имеем
𝑇₁
=
𝑇
⎧
⎨
⎩
1-
ϰ
𝑛
𝑐₁²ρ²-𝑐𝑛²
ρ²-1
⎫
⎬
⎭
.
Для получения времени 𝑇₀ в отсутствие затухания мы имеем (п. 731)
𝑇₀
=
𝑇₁
sin α
=
𝑇₁
π
√π²+λ²
.
741. Уравнение прямолинейного движения тела под действием притяжения к некоторой неподвижной точке, пропорционального расстоянию, и силы сопротивления, меняющейся пропорционально скорости, следующее:
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
+
2𝑘
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
ω²(𝑥-𝑎)
=
0,
(1)
где 𝑥 - координата тела в момент времени 𝑡, 𝑎 - координата точки равновесия. Чтобы решить это уравнение, положим
𝑥-𝑎
=
𝑒
-𝑘𝑡
𝑦
;
