⎟

⎠

𝑀

.

(13)

Так как величина 𝐿 всегда положительна, коэффициент 𝑀 должен быть отрицательным, т.е. токи в катушках, помещённых в 𝑃 и 𝑀, должны течь в противоположных направлениях. При выполнении эксперимента мы можем начать с регулировки сопротивлений, добиваясь равенства

𝑃𝑆

=

𝑄𝑅

,

(14)

что является условием отсутствия постоянного тока, и затем установить расстояние между катушками, при котором гальванометр при подключении или отключении батареи перестанет показывать переходный ток. Если же это расстояние не поддаётся регулировке, мы можем избавиться от переходного тока, Меняя сопротивления 𝑄 и 𝑆 таким образом, чтобы их отношение оставалось неизменным.

Если эта двойная регулировка оказывается слишком трудной, можно принять третий метод. Начав с положения, при котором переходный ток, обусловленный самоиндукцией, слегка превосходит ток взаимной индукции, мы затем можем избавиться от этого неравенства, поместив между 𝐴 и 𝑍 проводник с сопротивлением 𝑊. Введение 𝑊 не влияет на условие отсутствия постоянного тока через гальванометр. Поэтому мы можем избавиться от переходного тока регулировкой одного лишь сопротивления 𝑊. Когда мы сделаем это, значение 𝐿 будет равно

𝐿

=-

⎛

⎜

⎝

1+

𝑃

𝑄

+

𝑃+𝑅

𝑊

⎞

⎟

⎠

𝑀.

(15)

Сравнение коэффициентов самоиндукции двух катушек

757. Поставим катушки в два прилегающих плеча мостика Уитстона. Пусть 𝐿 и 𝑁 будут коэффициентами самоиндукции катушек, помещённых соответственно в 𝑃 и 𝑅, тогда условие отсутствия тока в гальванометре (см. рис. 61) будет таким:

⎛

⎜

⎝

𝑃𝑥

+

𝐿

𝑑𝑥

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑆𝑦

=

𝑄𝑦

⎛

⎜

⎝

𝑅𝑥

+

𝑁

𝑑𝑥

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

,

(16)

откуда

𝑃𝑆=𝑄𝑅

,

для того чтобы не было постоянного тока,

(17)

и

𝐿

𝑃

=

𝑁

𝑅

,

для того чтобы не было переходного тока.

(18)

Следовательно, соответствующей регулировкой сопротивлений можно избавиться как от постоянного, так и от переходного тока, после чего отношение 𝐿 к 𝑁 можно определить путём сравнения сопротивлений.

ГЛАВА XVIII

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ЕДИНИЦА СОПРОТИВЛЕНИЯ

Об определении сопротивления катушки в электромагнитной системе единиц

758. Сопротивление проводника определяется как отношение численного значения электродвижущей силы к численному значению тока, создаваемого ею в проводнике. Определение величины тока в электромагнитной мере можно осуществить при помощи эталонного гальванометра, если известна величина земной магнитной силы. Более сложным является определение электродвижущей силы, поскольку непосредственно вычислить её значение мы можем лишь в том случае, когда она возникает в результате движения контура относительно известной магнитной системы.

759. Первое определение сопротивления провода в электромагнитных единицах было выполнено Кирхгофом ¹. Он взял две катушки известной конфигурации 𝐴₁ и 𝐴₂ и подсчитал их коэффициент взаимной индукции, исходя из геометрических данных относительно их формы и расположения. Эти катушки были включены в контур, содержащий также гальванометр 𝐺 и батарею 𝐵; две точки контура - точка 𝑃, расположенная между катушками, и точка 𝑄, расположенная между батареей и гальванометром,- были соединены проводом, сопротивление которого 𝑅 необходимо измерить [рис. 62].

¹ «Bestimmung der Constanten, von welcher die Intensität inducirten elektrischer Strome abhängt». Pogg. Ann., LXXVI (April 1849).

Рис. 62

Когда ток постоянен, он делится между сопротивлением и цепью гальванометра, вызывая некоторое постоянное отклонение гальванометра. Если теперь катушку 𝐴₁ быстро убрать от 𝐴₂, поместив её в такое положение, при котором коэффициент взаимной индукции между 𝐴₁ и 𝐴₂ равен нулю (п. 538), то в обоих контурах создаётся индукционный ток и стрелка гальванометра приобретает некоторый импульс, приводящий к определённому кратковременному отклонению.

Сопротивление провода 𝑅 находится путём сравнения стационарного отклонения, обусловленного постоянным током, и кратковременного отклонения, обусловленного током индукции.

Пусть сопротивление участка 𝑄𝐺𝐴₁𝑃 равно 𝐾, участка 𝑃𝐴₂𝐵𝑄 - 𝐵, а участка 𝑃𝑄, - 𝑅.

Пусть 𝐿, 𝑀 и 𝑁 - коэффициенты индукции 𝐴₁ и 𝐴₂.

Пусть 𝑥̇ -ток в 𝐺, 𝑦̇ -ток в 𝐵; тогда ток, текущий от 𝑃 к 𝑄, равен 𝑥̇-𝑦̇.

Пусть 𝐸 - электродвижущая сила батареи, тогда

(𝐾+𝑅)𝑥̇

-

𝑅𝑦̇

+

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐿𝑥̇

+

𝑀𝑦̇

)=0

,

(1)

-𝑅𝑥̇

+

(𝐵+𝑅)𝑦̇

+

𝑑

𝑑𝑡

(

𝑀𝑥̇

+

𝑁𝑦̇

)=𝐸

.

(2)

Когда токи постоянны и всё находится в состоянии покоя,

(𝐾+𝑅)𝑥̇

-

𝑅𝑦̇

=

0.

(3)

Если теперь из-за удаления 𝐴₁ от 𝐴₂ коэффициент 𝑀. внезапно становится равным нулю, то, интегрируя по 𝑡, получим

(𝐾+𝑅)𝑥

-

𝑅𝑦

-

𝑀𝑦̇

=

0,

(4)

-𝑅𝑥

+

(𝐵+𝑅)𝑦

-

𝑀𝑥̇

=

∫

𝐸

𝑑𝑡

=

0,

(5)

откуда

𝑥

=

(𝐵+𝑅)𝑦̇+𝑅𝑥̇

(𝐵+𝑅)(𝐾+𝑅)-𝑅²

.

(6)

Подставляя значение 𝑦̇, выраженное из (3) через 𝑥̇, находим

𝑥

𝑥̇

=

𝑀

𝑅

(𝐵+𝑅)(𝐾+𝑅)+𝑅²

(𝐵+𝑅)(𝐾+𝑅)-𝑅²

(7)

=

𝑀

𝑅

⎛

⎜

⎝

1+

2𝑅²

(𝐵+𝑅)(𝐾+𝑅)

+…

⎞

⎟

⎠

.

(8)

Когда и 𝐵 и 𝐾 велики по сравнению с 𝑅, как это имеет место в опыте Кирхгофа, то это уравнение сводится к следующему:

𝑥

𝑥̇

=

𝑀

𝑅

.

Одна из этих величин - 𝑥 - находится по отбросу стрелки гальванометра, обусловленному индукционным током, см. п. 768. Постоянный ток 𝑥̇ находится по стационарному отклонению, обусловленному этим током, см. п. 746. Величина 𝑀 находится либо непосредственными расчётами, исходя из геометрических данных, либо путём сравнения с парой катушек, для которой такой расчёт уже проделан, см. п. 755. Через эти три величины можно определить 𝑅 в электромагнитной мере.