Эти методы требуют определения периода колебаний магнита гальванометра а также логарифмического декремента этих колебаний.
Веберовский метод переходных токов 2
2Elekt. Maasb.; or Pogg. Ann., LXXXII, p. 337-369 (1851).
760. Катушка значительных размеров укрепляется на оси таким образом, чтобы она могла вращаться вокруг вертикального диаметра. Провод этой катушки соединён с проводом тангенс-гальванометра и образует с ним единый контур. Пусть сопротивление этого контура равно 𝑅 и пусть большая катушка, ориентированная своим положительным торцом перпендикулярно магнитному меридиану, быстро повернулась на полоборота. Из-за наличия земной магнитной силы возникает индуцированный ток; полное количество электричества в этом токе, измеренное в электромагнитных единицах, будет равно
𝑄
=
2𝑔₁𝐻
𝑅
,
(1)
где 𝑔₁ - магнитный момент катушки, когда по ней протекает единичный ток, который в случае большой катушки можно определить непосредственно, измерив геометрические размеры катушки и подсчитав сумму площадей её витков; 𝐻 - горизонтальная составляющая земного магнетизма и 𝑅 - сопротивление контура, образованного катушкой и гальванометром. Этот ток приводит в движение магнит гальванометра.
Если первоначально магнит покоился, а перемещение катушки произошло за время, составляющее малую долю периода колебаний магнита, то, пренебрегая сопротивлением движению магнита, согласно п. 748, имеем
𝑄
=
𝐻
𝐺
𝑇
π
2 sin ½θ
,
(2)
где 𝐺 - постоянная гальванометра, 𝑇 - время одного колебания магнита (полупериод), θ -угол максимального наблюдаемого отклонения. Из этих уравнений получаем
𝑅
=
π𝐺𝑔₂
1
𝑇 sin ½θ
.
(3)
Величина 𝐻 не фигурирует в этом результате при условии, что она одинакова в месте расположения катушки и в месте расположения гальванометра. Не следует считать, что это всегда имеет место; в этом следует убедиться, сравнивая периоды колебаний одного и того же магнита сначала в одном месте, а затем - в другом.
761. Чтобы выполнить серию наблюдений, Вебер вначале устанавливал катушку параллельно магнитному меридиану. Затем поворачивал её положительным торцом к северу и наблюдал первую элонгацию магнита, обусловленную отрицательным током. После этого он наблюдал вторую элонгацию свободно колеблющегося магнита, а когда магнит на пути назад проходил точку равновесия, поворачивал катушку положительным торцом к югу. Это отбрасывало магнит в направлении положительного торца. Серия измерений продолжалась, как и в п. 750, и её результат давал поправку к значению сопротивления. Таким способом устанавливалась величина сопротивления составного контура, образованного катушкой и гальванометром.
Во всех таких экспериментах для получения достаточно больших отклонений провод следует изготавливать из меди - металла, который, хотя и является наилучшим проводником, обладает тем недостатком, что его сопротивление существенно меняется при изменении температуры. Определение же температуры каждой из частей прибора также весьма затруднительно. Поэтому, чтобы обеспечить постоянство результатов, получаемых в этом опыте, сопротивление контура следует сравнивать с сопротивлением тщательно изготовленной резистивной катушки как до, так и после каждого опыта.
Веберовский метод, состоящий в наблюдении декремента колебаний магнита
762. Магнит, обладающий значительным магнитным моментом, подвешивается в центре катушки гальванометра. Измеряются период и логарифмический декремент колебаний вначале при разомкнутом, а затем при замкнутом контуре гальванометра; проводимость катушки гальванометра выводится из того сопротивления, которое токи, индуцируемые в ней движением магнита, оказывают этому движению.
Если 𝑇 - наблюдаемое время одного колебания, а λ - неперовский логарифмический декремент каждого отдельного колебания, то, записав
ω
=
π
𝑇
,
(1)
и
α
=
λ
𝑇
,
(2)
получим уравнение движения магнита в виде
φ
=
𝐶𝑒
-α𝑡
cos(ω𝑡+β)
.
(3)
Это выражает установленный из наблюдений характер движения. Мы должны сравнить его с динамическими уравнениями движения.
Пусть 𝑀 - коэффициент индукции между катушкой гальванометра и подвешенным магнитом. Его можно представить в виде
𝑀
=
𝐺₁𝑔₁𝑃₁(θ)
+
𝐺₂𝑔₂𝑃₂(θ)
+…
,
(4)
где коэффициенты 𝐺₁,𝐺₂,… относятся к катушке, 𝑔₁,𝑔₂,… - к магниту, а 𝑃₁(θ),𝑃₂(θ),… - зональные гармоники, зависящие от угла между осями катушки и магнита, см. п. 700. Располагая определённым образом катушки гальванометра и составляя подвешенный магнит из нескольких магнитов, расположенных рядом друг с другом и на соответствующих расстояниях друг от друга, можно сделать так, что в выражении для 𝑀 все члены после первого будут пренебрежимо малы по сравнению с ним. Если мы положим также φ=½π-θ, то сможем написать
𝑀
=
𝐺𝑚
sin φ
,
(5)
где 𝐺 - главный коэффициент гальванометра, 𝑚 - магнитный момент магнита, φ - угол между осью магнита и плоскостью катушки, который в этом опыте всегда является малым.
Если 𝐿 - коэффициент самоиндукции катушки, 𝑅 - её сопротивление, а γ - ток в катушке, то
𝑑
𝑑𝑡
(𝐿γ+𝑀)
+
𝑅γ
=
0,
(6)
или
𝐿
𝑑γ
𝑑𝑡
+
𝑅γ
+
𝐺𝑚
cos φ
𝑑φ
𝑑𝑡
=
0,
(7)
Момент силы, с которым ток у действует на магнит, равен γ(𝑑𝑀/𝑑φ) или 𝐺𝑚γ cos φ. В этом опыте угол φ настолько мал, что мы можем положить cos φ. Предположим, что уравнение движения при разомкнутом контуре
𝐴
𝑑²φ
𝑑𝑡²
+
𝐴
𝑑φ
𝑑𝑡
+
𝐶φ
=
0,
(8)
где 𝐴 - момент инерции подвешенной аппаратуры; 𝐵(𝑑φ/𝑑𝑡) выражает сопротивление, возникающее из-за вязкости воздуха, нити подвеса и т. п., а 𝐶φ выражает момент силы, возникающий из-за действия земного магнетизма, кручения устройства подвеса и т. п., который стремится возвратить магнит в положение равновесия.
Уравнение движения при учёте действия тока будет
𝐴
𝑑²φ
𝑑𝑡²
+
𝐴
𝑑φ
𝑑𝑡
+
𝐶φ
=
𝐺𝑚γ,
(9)
Чтобы найти движение магнита, мы должны это уравнение скомбинировать с (7) и исключить γ. В результате получим линейное дифференциальное уравнение третьего порядка
⎛
⎜
⎝
𝐿
𝑑
𝑑𝑡
+
𝑅
⎞
⎟
⎠
