⎛
⎜
⎝
𝐴
𝑑²
𝑑𝑡²
+
𝐵
𝑑
𝑑𝑡
+
𝐶
⎞
⎟
⎠
φ
+
𝐺²𝑚²
𝑑φ
𝑑𝑡
=
0.
(10)
Нам, однако, не придётся решать это уравнение, поскольку параметрами задачи являются наблюдаемые элементы движения магнита и именно из них мы должны определить величину 𝑅.
Пусть значения α и ω в уравнении (3) равны α₀ и ω₀, когда контур разомкнут. В этом случае сопротивление 𝑅 бесконечно, и уравнение (10) сводится к (8). Таким образом, мы находим
𝐵
=
2𝐴α₀
,
𝐶
=
𝐴
(α₀²+ω₀²)
.
(11)
Разрешая уравнение (10) относительно 𝑅 и записывая
𝑑
𝑑𝑡
=-
(α-𝑖ω)
,
𝑖
=
√
-1
,
(12)
мы находим
𝑅
=
𝐺²𝑚²
𝐴
α-𝑖ω
α²-ω²+2𝑖αω-2α₀(α-𝑖ω)+α₀²+ω₀²
+
+
𝐿(α-𝑖ω)
.
(13)
Так как величина ω обычно много больше величины α, то наилучшее значение для 𝑅 можно получить, приравняв нулю члены, стоящие перед 𝑖ω:
𝑅
=
𝐺²𝑚²
2𝐴(α-α₀)
+
½𝐿
⎛
⎜
⎝
3α
-
α₀
-
ω²-ω₀²
α-α₀
⎞
⎟
⎠
.
(14)
Мы можем также получить значение 𝑅 путём приравнивания нулю членов, не содержащих 𝑖. но поскольку эти члены малы, то такое уравнение полезно только как средство проверки точности наблюдений. Из этих уравнений мы находим следующее проверочное уравнение:
𝐺²𝑚²
{α²+ω²-α₀²-ω₀²}
=
=
𝐿𝐴{
(α-α₀)⁴
+
2(α-α₀)²(ω²+ω₀²)
+
(ω²+ω₀²)²
}.
(15)
Поскольку член 𝐿𝐴ω² очень мал по сравнению с 𝐺²𝑚², это уравнение даёт
ω²-ω₀²
=
α₀²-α²
(16)
и уравнение (14) можно записать так:
𝑅
=
𝐺²𝑚²
2𝐴(α-α₀)
+
2𝐿α
.
(17)
В этом выражении 𝐺 можно определить либо в результате измерения линейных размеров катушки гальванометра, либо лучше, путём сравнения с эталонной катушкой в соответствии с методом п. 753. А является моментом инерции магнита и подвешенной вместе с ним аппаратуры; его следует находить соответствующим динамическим методом; величины ω, ω₀, α и α₀ устанавливаются из наблюдений.
Определение величины 𝑚 - магнитного момента подвешенного магнита - является наиболее трудной частью исследования, так как он подвержен влиянию температуры, земной магнитной силы, механических воздействий; поэтому необходимо проявлять особую внимательность, чтобы при измерении этой величины магнит находился точно в таких же условиях, в которых он находится во время колебаний.
Второй член в выражении для 𝑅 - член, содержащий 𝐿, - менее важен, поскольку обычно он мал по сравнению с первым членом. Величину 𝐿 можно определить либо расчётным путём для катушки, форма которой известна, либо из эксперимента с избыточным током индукции, см. п. 756.
Томсоновский метод вращающейся катушки
763. Этот метод был предложен Томсоном Комитету Британской Ассоциации Электрических Стандартов; эксперимент был выполнен Бэлфором Стьюартом (Balfour Stewart), Флемингом Дженкином (Fleeming Jenkin) и автором в 1863 г.3
3 См. Report of the British Association for 1863, p. 111-176.
Круглая катушка приводится во вращение с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси. В центре катушки на шёлковой нити подвешивается небольшой магнит. Электрический ток в катушке индуцируется земным магнетизмом, а также подвешенным магнитом. Ток этот является периодическим; в различные интервалы времени каждого оборота он протекает через провод катушки в противоположных направлениях, но действие тока на подвешенный магнит создаёт постоянное отклонение от магнитного меридиана в направлении вращения катушки.
764. Пусть 𝐻 - горизонтальная составляющая земного магнетизма.
Пусть γ - сила тока в катушке,
𝑔 - общая площадь, охватываемая всеми витками провода;
𝐺 - магнитная сила в центре катушки, создаваемая единичным током;
𝐿 - коэффициент самоиндукции катушки;
𝑀 - магнитный момент подвешенного магнита;
θ - угол между плоскостью катушки и магнитным меридианом;
φ - угол между осью подвешенного магнита и магнитным меридианом;
𝐴 - момент инерции подвешенного магнита;
𝑀𝐻τ - коэффициент кручения нити подвеса;
α - азимут магнита в отсутствии кручения;
𝑅 - сопротивление катушки.
Кинетическая энергия системы равна
𝑇
=
½𝐿γ²
-
𝐻𝑔γ
sin θ
-
𝐻𝐺γ
sin (θ-φ)
+
𝑀𝐻
cos φ
+
+
½𝐴φ̇²
.
(1)
Первый член, равный ½𝐿γ², выражает энергию тока, зависящую только от самой катушки. Второй член определяется взаимодействием тока и земного магнетизма, третий - взаимодействием тока и магнетизма подвешенного магнита, четвёртый - взаимодействием магнетизма подвешенного магнита и земного магнетизма, последний член выражает кинетическую энергию вещества, образующего магнит и движущуюся вместе с ним подвешенную аппаратуру.
Потенциальная энергия подвешенной аппаратуры, возникающая из-за кручения нити, равна
𝑉
=
𝑀𝐻
2
τ(φ²-2φα)
.
(2)
Электромагнитный импульс тока равен
𝑝
=
𝑑𝑇
𝑑γ
=
𝐿γ
-
𝐻𝑔
sin θ
-
𝑀𝐺
sin(θ-φ)
,
(3)
и если 𝑅 - сопротивление катушки, то уравнение для тока имеет вид
𝑅γ
+
𝑑²𝑇
𝑑𝑡 𝑑γ
=
0,
(4)
или, поскольку
θ
=
ω𝑡
,
(5)
⎛
⎜
⎝
𝑅
+
𝐿
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
γ
=
𝐻𝑔ω
cos θ
+
𝑀𝐺(ω-φ̇)
cos(ω-φ)
.
(6)
765. И из теории, и из наблюдений одинаково следует, что азимут магнита φ подвержен двум видам периодических изменений. Одно из них - свободные колебания, период которых зависит от интенсивности земного магнетизма и равен, согласно эксперименту, нескольким секундам. Другое - вынужденные колебания с периодом, равным половине периода вращения катушки и, как мы увидим далее, с необнаружимо малой амплитудой. Следовательно, при определении γ мы можем считать угол φ практически постоянным.
