Пусть второй провод обмотан вокруг кольца произвольным образом и, не обязательно соприкасаясь с ним, охватывает его 𝑛' раз. Поток индукции сквозь этот контур равен 2𝑛𝑛'γ𝑎, и, следовательно, коэффициент индукции 𝑀 одной катушки на другую равен 𝑀=2𝑛𝑛'𝑎.
Поскольку это выражение совершенно не зависит от конкретной формы или положения вторичного контура, то при протекании токов через проводники между ними не будет действовать никакой механической силы. Совмещая вторичный провод с первичным, мы получаем для коэффициента самоиндукции кольцевой намотки выражение 𝐿=2𝑛²𝑎.
ГЛАВА XIII
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТОКИ
Цилиндрические проводники
682. Существует очень важный класс электрических систем, где токи текут по круглым проводам почти однородного сечения, причём провода либо прямые, либо такие, что радиус кривизны оси провода очень велик по сравнению с радиусом поперечного сечения провода. Для того чтобы подготовиться к математическому исследованию таких систем, мы начнём со случая, когда контур состоит из двух очень протяжённых параллельных проводников и двух небольших кусков, соединяющих их концы. Мы сосредоточим своё внимание на части контура, удалённой от концов проводников настолько, что никаких ощутимых изменений в распределении силы не вносит тот факт, что провода не являются бесконечно длинными.
Выберем ось 𝑧 параллельной направлению проводников; тогда в рассматриваемой области поля из-за симметрии системы всё будет зависеть только от величины 𝐻 - составляющей вектор-потенциала, параллельной 𝑧.
Составляющие магнитной индукции, согласно уравнению (A), равны
𝑎
=
𝑑𝐻
𝑑𝑦
,
(1)
𝑏
=-
𝑑𝐻
𝑑𝑥
,
𝑐
=
0.
(2)
Для общности мы будем предполагать, что коэффициент магнитной индукции равен μ так что 𝑎=μα, 𝑏=μβ, где α и β - составляющие магнитной силы.
Уравнения (Е) для электрических токов (п. 607) дают
𝑢
=
0,
𝑣
=
0,
4π𝑤
=
𝑑β
𝑑𝑥
-
𝑑α
𝑑𝑦
.
(3)
683. Если ток является функцией расстояния 𝑟 от оси 𝑧, то, написав
𝑥
=
𝑟 cos θ
и
𝑦
=
𝑟 sin θ
(4)
и обозначив магнитную силу через β, в направлении, в котором θ, отсчитывается перпендикулярно плоскости, проходящей через ось 𝑧, мы будем иметь
4π𝑤
=
𝑑β
𝑑𝑟
-
1
𝑟
β
=
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
(β𝑟)
.
(5)
Если 𝐶 представляет собой полный ток, протекающий через сечение, ограниченное окружностью радиуса 𝑟, которая лежит в плоскости 𝑥𝑦 и имеет центр в начале координат, то
𝐶
=
𝑟
∫
0
2π𝑟𝑤
𝑑𝑟
=
1
2
β𝑟
.
(6)
Таким образом, отсюда видно, что магнитная сила в некоторой заданной точке, обусловленная токами, текущими в цилиндрических слоях с общей осью 𝑧, зависит только от полной силы тока, протекающего через слои, лежащие между данной точкой и этой осью, и не зависит от распределения тока по различным цилиндрическим слоям.
Пусть, например, проводник представляет собой однородный провод радиуса 𝑎, а полный ток через него равен 𝐶, тогда при равномерном распределении тока по всем частям сечения его плотность ω будет постоянной, причём
𝐶
=
π𝑤𝑎²
.
(7)
Ток, протекающий через круговое сечение радиуса 𝑟 при значениях 𝑟 меньших 𝑎, равен 𝐶'=π𝑤𝑟². Поэтому в любой точке, расположенной внутри провода,
β
=
2𝐶'
𝑟
=
2𝐶
𝑟
𝑎²
.
(8)
Вне провода
β
=
2𝐶
𝑟
.
(9)
В самом веществе провода магнитный потенциал отсутствует, так как внутри проводника, несущего электрический ток, магнитная сила не удовлетворяет условиям существования потенциала.
Вне провода магнитный потенциал равен
Ω
=-
2𝐶θ
.
(10)
Предположим, что вместо провода взят проводник в виде металлической трубки, внешний и внутренний радиусы которой соответственно равны 𝑎₁ и 𝑎₂, тогда для тока 𝐶, протекающего по такому трубчатому проводнику, имеем
𝐶
=
π𝑤
(𝑎₁²-𝑎₂²)
.
(11)
Внутри трубки магнитная сила равна нулю. В металле трубки, где радиус 𝑟 изменяется от 𝑎₁ до 𝑎₂,
β
=
2𝐶
1
(𝑎₁²-𝑎₂²)
⎛
⎜
⎝
𝑟
-
𝑎₂²
𝑟
⎞
⎟
⎠
,
(12)
а вне трубки величина
β
=
2𝐶
𝑟
,
(13)
т.е. остаётся той же самой, что и при протекании тока по сплошному проводу
684. Магнитная индукция в любой точке равна 𝑏=μβ, и поскольку, согласно уравнению (2),
𝑏
=-
𝑑𝐻
𝑑𝑟
,
(14)
то
𝐻
=-
∫
μβ
𝑑𝑟
.
(15)
Значение 𝐻 вне трубки равно
𝐴
-
2μ₀𝐶
ln 𝑟
,
(16)
где μ₀ есть значение μ в области, лежащей вне трубки, 𝐴 - постоянная, зависящая от места подключения замыкающего цепь возвратного тока.
Внутри вещества трубки
𝐻
=
𝐴
-
2μ₀𝐶
ln 𝑎₁
+
μ𝐶
𝑎₁²-𝑎₂²
⎛
⎜
⎝
𝑎₁²
-
𝑟²
+
𝑎₂²
ln
𝑟
𝑎₁
⎞
⎟
⎠
.
(17)
В области, расположенной внутри трубки, величина 𝐻 постоянна и равна
𝐻
=
𝐴
-
2μ₀𝐶
ln 𝑎₁
+
μ𝐶
⎛
⎜
⎝
1
+
2𝑎₂²
𝑎₁²-𝑎₂²
ln
𝑎₂
𝑎₁
⎞
⎟
⎠
.
(18)
685. Пусть контур замыкается обратным током, текущим по трубке или по проводу, параллельному первому, прямому току, причём оси двух токов расположены на расстоянии 𝑏. Чтобы определить кинетическую энергию системы, мы должны вычислить интеграл
