𝑇
=
1
2
∭
𝐻𝑤
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(19)
Если мы ограничимся рассмотрением только той части системы, которая находится между двумя плоскостями, перпендикулярными осям проводников и разнесёнными на расстояние 𝑙 одна от другой, то это выражение окажется таким:
𝑇
=
1
2
𝑙
∬
𝐻𝑤
𝑑𝑥
𝑑𝑦
.
(20)
Если пометить штрихами величины, относящиеся к обратному току, то мы можем записать это так:
2𝑇
𝑙
=
∬
𝐻𝑤'
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
+
∬
𝐻'𝑤
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
∬
𝐻𝑤
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
+
∬
𝐻'𝑤'
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
.
(21)
Поскольку действие тока на любую точку вне трубки такое же, как если бы такой же ток был сосредоточен на оси трубки, то среднее значение 𝐻 по сечению обратного тока равно 𝐴-2μ₀𝐶 ln 𝑏, а среднее значение 𝐻' по сечению прямого тока равно
𝐴'
-
2μ₀𝐶
ln 𝑏
.
Поэтому в выражении для 𝑇 первые два члена могут быть записаны:
𝐴𝐶'
-
2μ₀
𝐶𝐶'
ln 𝑏
,
𝐴'𝐶
-
2μ₀
𝐶𝐶'
ln 𝑏
.
Интегрируя два последних члена обычным путём, складывая результаты и помня, что 𝐶+𝐶'=0, мы получим величину кинетической энергии 𝑇. Записав её как 𝐿𝐶²/2, где 𝐿 - коэффициент самоиндукции системы двух проводников, для величины 𝐿 системы длиной 𝑙 найдём
𝐿
𝑙
=
2μ₀
ln
𝑏²
𝑎₁𝑎₁'
+
½μ
⎡
⎢
⎣
𝑎₁²-3𝑎₂²
𝑎₁²-𝑎₂²
+
4𝑎₂⁴
(𝑎₁²-𝑎₂²)²
ln
𝑎₁
𝑎₂
⎤
⎥
⎦
+
+
½μ'
⎡
⎢
⎣
𝑎₁'²-3𝑎₂'²
𝑎₁'²-𝑎₂'²
+
4𝑎₂'⁴
(𝑎₁'²-𝑎₂'²)²
ln
𝑎₁'
𝑎₂'
⎤
⎥
⎦
.
(22)
Если проводники представляют собой сплошные провода, то 𝑎₂ и 𝑎₂' равны нулю и
𝐿
𝑙
=
2μ₀
ln
𝑏²
𝑎₁𝑎₁'
+
½(μ+μ')
.
(23)
Только в случае железных проводов при вычислении их самоиндукции необходимо принимать во внимание магнитную индукцию. В остальных случаях мы можем положить μ₀, μ и μ' равными единице. Чем меньше радиусы проводов и чем больше расстояния между ними, тем больше величина их самоиндукции.
Как найти силу отталкивания 𝑋 между двумя участками проводов
686. Согласно п. 680, для силы, стремящейся увеличить 𝑏, мы получаем
𝑋
=
1
2
𝑑𝐿
𝑑𝑏
𝐶²
=
2μ₀
𝑙
𝑏
𝐶²
,
(24)
что при μ₀=1, как это имеет место для воздуха, согласуется с формулой Ампера.
687. Если длина проводов значительно превышает расстояние между ними, мы можем использовать коэффициент самоиндукции для отыскания натяжения проводов, возникающего под действием тока.
Обозначив это натяжение через 𝑍, имеем
𝑍
=
1
2
𝑑𝐿
𝑑𝑙
𝐶²
=
𝐶²
⎧
⎨
⎩
μ₀
ln
𝑏²
𝑎₁𝑎₁'
+
μ+μ'
4
⎫
⎬
⎭
.
(25)
В одном из экспериментов Ампера параллельные проводники состоят из двух корытцев с ртутью, соединённых друг с другом с помощью провода в виде плавающего мостика. Ток вводится с конца одного из корытцев и течёт вдоль него до тех пор, пока не достигнет одного из концов плавающего провода, затем по плавающему мостику он переходит во второе корытце и по нему возвращается обратно; плавающий мостик, двигаясь вдоль корытца, удлиняет тем самым участок ртути, по которому течёт ток [рис. 40].
Рис. 40
Профессор Тэт упростил электрические условия этого опыта, заменив провод плавающим стеклянным сифоном, заполненным ртутью, чтобы ток на всём своём пути тёк по ртути.
Этот опыт иногда приводят в качестве доказательства того, что два элемента тока, текущего вдоль одной и той же прямой линии, отталкиваются и что тем самым формула Ампера, указывающая на такое отталкивание между коллинеарными элементами, более правильна, чем формула Грассмана (Grassmann), которая не даёт никакого действия между элементами, расположенными вдоль одной и той же прямой линии; п. 526.
Однако ясно, что, поскольку и формула Ампера, и формула Грассмана для замкнутых контуров приводят к одинаковым результатам и поскольку на опыте мы имеем дело только с замкнутыми контурами, никакие экспериментальные данные не могут создать преимуществ ни одной из этих теорий перед другой.
В самом деле, как уже показано, обе формулы приводят к одному и тому же значению силы отталкивания, из которого следует, что расстояние 𝑏 между двумя параллельными проводниками является важным параметром.
Когда длина проводников не очень сильно превышает расстояние между ними, выражение для величины 𝐿 несколько усложняется.
688. По мере уменьшения расстояния между проводниками уменьшается и величина 𝐿. Предел этого уменьшения наступает, когда проводники приходят в контакт, т.е. 𝑏=𝑎₁+𝑎₁'. В этом случае, если μ₀=μ=μ=1,
𝐿
=
2𝑙
⎧
⎨
⎩
ln
(𝑎₁+𝑎₁')²
𝑎₁𝑎₁'
+
1
2
⎫
⎬
⎭
.
(26)
Эта величина минимальна, если 𝑎₁=𝑎₁'; тогда
𝐿
=
2𝑙
[ln 4+½]
=
2𝑙
(1,8863)
=
3,7726𝑙
.
(27)
Это является наименьшим значением величины самоиндукции сдвоенного круглого провода общей длиной 2𝑙.
Так как обе части провода должны быть изолированы друг от друга, то фактически величина самоиндукции никогда не достигает этого предельного значения. Используя широкие плоские металлические полосы вместо круглых проводов, коэффициент самоиндукции можно уменьшать сколько угодно.
Об электродвижущей силе, необходимой для создания тока переменной плотности вдоль цилиндрического проводника
689. Когда ток в проводе имеет переменную плотность, то электродвижущая сила, возникающая в результате индукции тока на самого себя, различна на разных участках сечения провода, являясь в общем случае функцией как расстояния от оси провода, так и времени. Если бы мы предположили, что цилиндрический проводник состоит из пучка проводов, образующих один и тот же контур, и ток задаётся однородным в любой части сечения пучка, то метод вычисления, использованный выше, был бы применим строго. Если, однако, мы рассмотрим цилиндрический проводник как сплошное тело, внутри которого токи, подчиняясь действию электродвижущих сил, могут течь беспрепятственно, то плотность тока не будет одинаковой на различных расстояниях от оси цилиндра и сами электродвижущие силы будут зависеть от распределения тока в различных цилиндрических слоях провода.
