В этом случае вектор-потенциал 𝐻, плотность тока 𝑤 и электродвижущую напряжённость в любой точке следует рассматривать как функцию времени и расстояния от оси провода.
Полный ток 𝐶, протекающий через сечение провода и полную электродвижущую силу 𝐸, действующую вдоль контура, следует рассматривать, как переменные, связь между которыми мы и должны установить.
Предположим, что величина 𝐻 равна
𝐻
=
𝑆
+
𝑇₀
+
𝑇₁𝑟²
+…+
𝑇
𝑛
𝑟
2𝑛
+…
,
(1)
где 𝑆, 𝑇₀, 𝑇₀, … - функции времени.
Тогда из уравнения
𝑑²𝐻
𝑑𝑟²
+
1
2
𝑑𝐻
𝑑𝑟
=-
4π𝑤
(2)
мы находим
-π𝑤
=
𝑇₁
+…+
𝑛²
𝑇
𝑛
𝑟
2𝑛-2
+…
.
(3)
Если удельное сопротивление вещества (на единицу объёма) обозначить через ρ, то электродвижущая напряжённость в любой точке равна ρω, что можно выразить через электрический потенциал и через вектор-потенциал 𝐻 при помощи уравнения (В), п. 598:
ρ𝑤
=-
𝑑Ψ
𝑑𝑧
-
𝑑𝐻
𝑑𝑡
,
(4)
или
-ρ𝑤
=
𝑑Ψ
𝑑𝑧
+
𝑑𝑆
𝑑𝑡
+
𝑑𝑇₀
𝑑𝑡
+
𝑑𝑇₁
𝑑𝑡
𝑟²
+…+
𝑑𝑇𝑛
𝑑𝑡
𝑟
2𝑛
+…
(5)
Сравнивая в уравнениях (3) и (5) коэффициенты при одинаковых степенях 𝑟, получаем
𝑇₁
=
π
ρ
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
+
𝑑𝑆
𝑑𝑡
+
𝑑𝑇₀
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
,
(6)
𝑇₂
=
π
ρ
1
2²
𝑑𝑇₁
𝑑𝑡
,
(7)
𝑇
𝑛
=
π
ρ
1
𝑛²
𝑑𝑇𝑛-1
𝑑𝑡
.
(8)
Следовательно, мы можем написать
𝑑𝑆
𝑑𝑡
=-
𝑑Ψ
𝑑𝑧
,
(9)
𝑇₀
=
𝑇
,
𝑇₁
=
π
ρ
𝑑𝑇
𝑑𝑡
, …
𝑇
𝑛
=
π𝑛
ρ𝑛
1
(𝑛!)²
𝑑𝑛𝑇
𝑑𝑡𝑛
.
(10)
690. Для нахождения полного тока 𝐶 нам следует проинтегрировать 𝑤 по всему сечению провода радиуса 𝑎:
𝐶
=
2π
𝑎
∫
0
𝑤𝑟
𝑑𝑟
.
(11)
Подставляя значения π𝑤 из уравнения (3), получаем
𝐶
=-(
𝑇₁𝑎²
+…+
𝑛𝑇
𝑛
𝑎
2𝑛
+…)
.
(12)
Величина 𝐻 в любой точке вне провода определяется только полным током 𝐶 и не зависит от характера его распределения внутри провода. Поэтому можно принять значение 𝐻 на поверхности провода равным 𝐴𝐶, где 𝐴 - постоянная величина, которую следует вычислять с учётом общей конфигурации контура. Полагая 𝐻=𝐴 при 𝑟=𝑎, мы получаем
𝐴𝐶
=
𝑆
+
𝑇₀
+
𝑇₁𝑎²
+…+
𝑇
𝑛
𝑎
𝑛
2𝑛
+…
.
(13)
Если далее записать π𝑎²/ρ=α, где α - величина проводимости на единицу длины провода, то мы будем иметь
𝐶
=-
⎛
⎜
⎝
α
𝑑𝑇
𝑑𝑡
+
2α²
1²⋅2²
𝑑²𝑇
𝑑𝑡²
+…+
𝑛α𝑛
(𝑛!)²
𝑑𝑛𝑇
𝑑𝑡𝑛
+…
⎞
⎟
⎠
,
(14)
𝐴𝐶-𝑆
=
𝑇
+
α
𝑑𝑇
𝑑𝑡
+
α²
1²⋅2²
𝑑²𝑇
𝑑𝑡²
+…+
α𝑛
(𝑛!)²
𝑑𝑛𝑇
𝑑𝑡𝑛
+…
.
(15)
Чтобы исключить из этих уравнений 𝑇, мы должны вначале обратить ряд (14). Таким образом, получаем
α
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=-
𝐶
+
1
2
α
𝑑𝐶
𝑑𝑡
-
1
6
α²
𝑑²𝐶
𝑑𝑡²
+
7
144
α³
𝑑³𝐶
𝑑𝑡³
-
39
2880
α⁴
𝑑⁴𝐶
𝑑𝑡⁴
+…
.
Из (14) и (15) мы также имеем
α
⎛
⎜
⎝
𝐴
𝑑𝐶
𝑑𝑡
-
𝑑𝑆
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
+
𝐶
=
1
2
α²
𝑑²𝑇
𝑑𝑡²
+
1
6
α³
𝑑³𝑇
𝑑𝑡³
+
1
48
α⁴
𝑑⁴𝑇
𝑑𝑡⁴
+
+
1
720
α⁵
𝑑⁵𝑇
𝑑𝑡⁵
+…
.
Из последних двух уравнений находим
α
⎛
⎜
⎝
𝐴
𝑑𝐶
𝑑𝑡
-
𝑑𝑆
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
+
𝐶
+
1
2
α
𝑑𝐶
𝑑𝑡
-
1
12
α²
𝑑²𝐶
𝑑𝑡²
+
1
48
α³
𝑑³𝐶
𝑑𝑡³
-
-
1
180
α⁴
𝑑⁴𝐶
𝑑𝑡⁴
+…
=
0.
(16)
Если 𝑙 - полная длина контура, 𝑅 - его полное сопротивление, 𝐸 - электродвижущая сила, обусловленная источниками, отличными от самоиндукции тока, то
𝑑𝑆
𝑑𝑡
=
𝐸
𝑙
,
α
=
𝑙
𝑅
,
(17)
𝐸
=
𝑅𝐶
+
𝑙
⎛
⎜
⎝
𝐴
+
1
2
⎞
⎟
⎠
𝑑𝐶
𝑑𝑡
-
1
12
𝑙²
𝑅
𝑑²𝐶
𝑑𝑡²
+
1
48
𝑙³
𝑅²
