𝑑³𝐶
𝑑𝑡³
-
-
1
180
𝑙⁴
𝑅³
𝑑⁴𝐶
𝑑𝑡⁴
+…
.
(18)
Первый член в правой части этого уравнения, равный 𝑅𝐶, выражает электродвижущую силу, необходимую для преодоления сопротивления в соответствии с законом Ома.
Второй член, равный
𝑙
⎛
⎜
⎝
𝐴
+
1
2
⎞
⎟
⎠
𝑑𝐶
𝑑𝑡
,
выражает электродвижущую силу, которую следовало бы создать для увеличения электрокинетического импульса контура в предположении, что во всех точках сечения провода сила тока одинакова.
Остальные члены выражают поправки к этой величине, возникающие из-за того факта, что сила тока различна на разных расстояниях от оси провода. Реальная система токов обладает большей степенью свободы, чем гипотетическая система, в которой по всему сечению поддерживается однородное распределение токов. Следовательно, электродвижущая сила, которая требуется для быстрого изменения силы тока, несколько меньше той, которая была бы необходима в рамках этой гипотезы.
Отношение между временным интегралом электродвижущей силы и временным интегралом тока равно
∫
𝐸
𝑑𝑡
=
𝑅
∫
𝐶
𝑑𝑡
+
𝑙
⎛
⎜
⎝
𝐴
+
1
2
⎞
⎟
⎠
𝐶
-
1
12
𝑙²
𝑅
𝑑𝐶
𝑑𝑡
+…
.
(19)
Если ток вначале имеет постоянное значение 𝐶₀, затем в течение некоторого времени увеличивается до величины 𝐶₁ и затем остаётся постоянным, равным 𝐶₁, то члены, содержащие производные от 𝐶, исчезают на обоих пределах и
∫
𝐸
𝑑𝑡
=
𝑅
∫
𝐶
𝑑𝑡
+
𝑙
⎛
⎜
⎝
𝐴
+
1
2
⎞
⎟
⎠
(𝐶₁-𝐶₀)
,
(20)
т.е. величина импульса электродвижущей силы такая же, как если бы ток был однороден по сечению провода.
О среднем геометрическом расстоянии между двумя фигурами на плоскости 1
1Trans. R. S. Edin., 1871-2,
691. При вычислении электромагнитного действия тока, текущего вдоль прямого проводника любого заданного сечения, на другой ток, текущий по параллельному проводнику, сечение которого также задано, мы должны найти интеграл
∬∬
ln 𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
,
где 𝑑𝑥𝑑𝑦 есть элемент площади в первом сечении, 𝑑𝑥'𝑑𝑦' - элемент площади во втором сечении, 𝑟 - расстояние между этими элементами; интегрирование производится вначале по всем элементам первого сечения, а затем по всем элементам второго сечения.
Если мы введём теперь некоторую длину 𝑅, такую, что интеграл равен 𝐴₁𝐴₂ ln 𝑅, где 𝐴₁ и 𝐴₁ - площади двух сечений, то эта длина 𝑅 останется неизменной, какую бы единицу длины мы ни приняли и какую бы систему логарифмов ни использовали.
Если предположить, что сечения разделены на элементы одинакового размера, то логарифм от 𝑅, умноженный на число пар элементов, будет равен сумме логарифмов расстояний между всеми парами элементов. Следовательно, величину R можно рассматривать как среднее геометрическое всех расстояний между парами элементов. Очевидно, что величина 𝑅 должна быть промежуточной между наибольшим и наименьшим значениями 𝑟.
Если 𝑅𝐴 и 𝑅𝐵 - средние геометрические расстояния фигур 𝐴 и 𝐵 до третьей фигуры 𝐶, а 𝑅𝐴+𝐵 - среднее геометрическое расстояние суммы этих двух фигур до 𝐶, то
(𝐴+𝐵) ln 𝑅
𝐴+𝐵
=
𝐴 ln 𝑅
𝐴
+
𝐵 ln 𝑅
𝐵
.
При помощи этого соотношения мы можем найти расстояние 𝑅 для сложной фигуры по известным значениям 𝑅 для её частей.
692. ПРИМЕРЫ
Рис. 41
(1). Пусть 𝑅 - среднее расстояние от точки 𝑂 до отрезка 𝐴𝐵, а 𝑂𝑃 - перпендикуляр к 𝐴𝐵 [рис. 41]; тогда
╱╲
𝐴𝐵(ln 𝑅+1)
=
𝐴𝑃 ln 𝑂𝐴
+
𝑃𝐵 ln 𝑂𝐵
+
𝑂𝑃
𝐴𝑂𝐵
.
Рис. 42
(2). Для двух отрезков (рис. 42) длиной 𝑎 и 𝑏, проведённых в одну сторону из концов отрезка длиной с перпендикулярно ему, имеем
𝑎𝑏
(2ln 𝑅+3)
=
(𝑐²-(𝑎-𝑏)²)
ln√
𝑐²+(𝑎-𝑏)²
+
𝑐²ln 𝑐
+
+
(𝑎²-𝑐²)
ln√
𝑎²+𝑐²
+
(𝑏²-𝑐²)
ln√
𝑏²+𝑐²
-
-
𝑐(𝑎-𝑏)
arctg
𝑎-𝑏
𝑐
+
𝑎𝑐
arctg
𝑎
𝑐
+
𝑏𝑐
arctg
𝑏
𝑐
.
Рис. 43
(3). Для двух отрезков 𝑃𝑄 и 𝑅𝑆 (рис. 43), направления которых пересекаются в точке 𝑂,
𝑃𝑄⋅𝑅𝑆
(2ln 𝑅+3)
=
=
ln 𝑃𝑅
(2𝑂𝑃⋅𝑂𝑅 sin²𝑂-𝑃𝑅² cos 𝑂)
+
ln 𝑄𝑆
(2𝑂𝑄⋅𝑂𝑆 sin²𝑂-𝑄𝑆² cos 𝑂)
-
ln 𝑃𝑆
(2𝑂𝑃⋅𝑂𝑆 sin²𝑂-𝑃𝑆² cos 𝑂)
-
ln 𝑄𝑅
(2𝑂𝑄⋅𝑂𝑅 sin²𝑂-𝑄𝑅² cos 𝑂)
╱╲
╱╲
╱╲
-
sin 𝑂
{
𝑂𝑃²⋅
𝑆𝑃𝑅
-
𝑂𝑄²⋅𝑆𝑄𝑅
+
𝑂𝑅²⋅
𝑃𝑅𝑄
+
𝑂𝑆²⋅
𝑃𝑆𝑄
}.
Рис. 44
(4). Для точки 𝑂 и прямоугольной площадки 𝐴𝐵𝐶𝐷 (рис. 44). Пусть 𝑂𝑃, 𝑂𝑄, 𝑂𝑅, 𝑂𝑆 перпендикулярны к его сторонам, тогда
𝐴𝐵⋅𝐴𝐷(2ln 𝑅+3)
=
2𝑂𝑃⋅𝑂𝑄 ln 𝑂𝐴
+
+
2𝑂𝑄⋅𝑂𝑅 ln 𝑂𝐵
+
2𝑂𝑅⋅𝑂𝑆 ln 𝑂𝐶
+
╱╲
+
2𝑂𝑆⋅𝑂𝑃 ln 𝑂𝐷
+
𝑂𝑃²⋅
𝐷𝑂𝐴
+
╱╲
╱╲
╱╲
+
𝑂𝑄²⋅
𝐴𝑂𝐵
+
𝑂𝑅²⋅
𝐵𝑂𝐶
+
𝑂𝑆²⋅
𝐶𝑂𝐷
.
(5). Нет необходимости в том, чтобы две фигуры были различны, ибо мы можем найти среднее геометрическое расстояние между каждой парой точек одной и той же фигуры; так, для отрезка прямой длины 𝑎
ln
𝑅
=
ln 𝑎
-
3
2
,
или
𝑅
=
𝑎𝑒
-3/2
,
𝑅
=
