0,22313𝑎
.
(6). Для прямоугольной площадки, стороны которой равны 𝑎 и 𝑏,
ln 𝑅
=
ln√
𝑎²+𝑏²
-
1
6
𝑎²
𝑏²
ln
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑏²
𝑎²
⎞½
⎟
⎠
-
-
1
6
𝑏²
𝑎²
ln
⎛
⎜
⎝
1
+
𝑎²
𝑏²
⎞½
⎟
⎠
+
2
3
𝑎
𝑏
arctg
𝑏
𝑎
+
+
2
3
𝑏
𝑎
arctg
𝑎
𝑏
-
25
12
.
Когда этот прямоугольник является квадратом со стороной 𝑎,
ln
𝑅
=
ln 𝑎
+
1
3
ln 2
+
π
3
-
25
12
,
𝑅
=
0,44705𝑎
.
(7). Среднее геометрическое расстояние между точкой и линией окружности равно наибольшей из двух величин: величины расстояния от данной точки до центра окружности и радиуса этой окружности.
(8). Таким образом, среднее геометрическое расстояние любой фигуры от некоторого кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, равно её среднегеометрическому расстоянию от центра кольца, если эта фигура целиком расположена вне кольца; если же она вся лежит внутри кольца, то
ln 𝑅
=
𝑎₁²ln 𝑎₁-𝑎₂²ln 𝑎₂
𝑎₁²-𝑎₂²
-
1
2
,
где 𝑎₁ и 𝑎₂ - внешний и внутренний радиусы кольца. В этом случае 𝑅 не зависит от формы фигуры, находящейся внутри кольца.
(9). Среднее геометрическое расстояние всех пар точек в кольце находится из уравнения
ln 𝑅
=
ln 𝑎₁
-
𝑎₂⁴
(𝑎₁²-𝑎₂²)²
ln
𝑎₁
𝑎₂
+
1
4
3𝑎₂²-𝑎₁²
𝑎₁²-𝑎₂²
.
Для круглой площадки радиуса а это выражение принимает вид
ln
𝑅
=
ln 𝑎
-
1
4
,
или
𝑅
=
𝑎𝑒
-1/4
,
𝑅
=
0,7788𝑎
.
Для линии окружности 𝑅=𝑎.
693. При вычислении коэффициента самоиндукции катушки однородного сечения, радиус кривизны которой значительно превышает размеры поперечного сечения, мы сначала, пользуясь только что описанным методом, определяем средние геометрические расстояния между всеми парами точек сечения катушки, а затем подсчитываем коэффициент взаимной индукции между двумя линейными проводниками заданной формы, помещёнными на этом расстоянии друг от друга.
Это и будет коэффициентом самоиндукции для единичного полного тока в катушке, если он распределён однородно по всем точкам сечения.
Но если в катушке имеется 𝑚 витков, мы должны полученный коэффициент помножить на 𝑛² тогда мы получим коэффициент самоиндукции в предположении, что всё сечение катушки полностью заполнено витками проводящего провода.
Однако провод имеет цилиндрическую форму и покрыт изолирующим материалом, поэтому ток не распределён равномерно по сечению, а сконцентрирован в определённых его частях; это увеличивает коэффициент самоиндукции. Помимо этого, токи в соседних проводах не оказывают на ток в данном проводе того же самого действия, что при однородном распределении.
Поправки, возникающие при учёте всех этих соображений, могут быть найдены методом среднегеометрического расстояния. Они пропорциональны длине всего провода в катушке и могут быть выражены как некоторые численные величины, на которые мы должны умножать длину провода, с тем чтобы получить поправку к коэффициенту самоиндукции.
Пусть диаметр провода равен 𝑑, провод покрыт изолирующим материалом и свернут в катушку. Мы будем предполагать, что сечения проводов располагаются в квадратном порядке, как это показано на рис. 45, и что расстояние между осью любого провода и осью провода, соседнего с ним, как по ширине, так и по глубине катушки равно 𝐷. Очевидно, что 𝐷 больше 𝑑.
Рис. 45
Вначале мы должны определить превышение самоиндукции на единицу длины цилиндрического провода диаметра 𝑑 по сравнению с проводом квадратного сечения со стороной, равной 𝐷, т.е.
2ln
𝑅(для квадрата)
𝑅(для окружности)
=
2
⎛
⎜
⎝
ln
𝐷
𝑑
+
4
3
ln 2
+
π
3
-
11
6
⎞
⎟
⎠
=
2
⎛
⎜
⎝
ln
𝐷
𝑑
+
0,1380606
⎞
⎟
⎠
.
Индуктивное действие ближайших восьми круглых проводов на рассматриваемый провод меньше, чем действие соответствующих восьми квадратных проводов на квадратный провод, помещённый в середине в 2⋅(0,01971) раза.
Поправками на влияние проводов, находящихся на больших расстояниях, можно пренебречь и общий корректирующий множитель записать в виде
2
⎛
⎜
⎝
ln
𝐷
𝑑
+
0,11835
⎞
⎟
⎠
.
Окончательное значение самоиндукции поэтому равно
𝐿
=
𝑛²𝑀
+
2𝑙
⎛
⎜
⎝
ln
𝐷
𝑑
+
0,11835
⎞
⎟
⎠
,
где 𝑛 - число витков, 𝑙 - длина провода, 𝑀 - взаимоиндукция двух контуров, имеющих форму среднего провода катушки и помещённых на расстояние 𝑅 друг от друга, 𝑅 - среднегеометрическое расстояние между парами точек сечения; 𝐷 - расстояние между следующими друг за другом проводами, 𝑑 - диаметр провода.
ГЛАВА XIV
КРУГОВЫЕ ТОКИ
Магнитный потенциал кругового тока
694. Магнитный потенциал, создаваемый в некоторой заданной точке контуром, несущим единичный ток, численно равен телесному углу с вершиной в этой точке, опирающемуся на контур, см. п. 409, 485.
В случае кругового контура телесный угол является телесным углом конуса второго порядка; для точки, находящейся на оси окружности, конус будет прямым. Если точка не находится на оси, конус является эллиптическим; его телесный угол равен площади сферического эллипса, вырезаемого им на сфере единичного радиуса.
Эта площадь может быть выражена в конечном виде через эллиптические интегралы третьего рода. Мы увидим, однако, что более удобно разложить её в виде бесконечного ряда по сферическим гармоникам, поскольку те удобства, которые сопутствуют выполнению математических операций с общим членом такого ряда, с избытком перевешивают хлопоты, связанные с подсчётом числа членов ряда, достаточного для обеспечения практической точности.
