Будем считать для общности, что начало координат расположено в произвольной точке оси окружности, т.е. на линии, проходящей через центр окружности перпендикулярно её плоскости.
Рис. 46
Пусть точка 𝑂 (рис. 46) является центром окружности, расположенная на оси точка 𝐶 выбрана за начало координат, а точка 𝐻 находится на самой окружности.
Проведём сферу радиусом 𝐶𝐻 с центром в точке 𝐶. Рассматриваемая нами окружность будет лежать на сфере, являясь её малой окружностью с «угловым радиусом» α.
Обозначим 𝐶𝐻=𝑐, 𝑂𝐶=𝑏=𝑐 cos α, 𝑂𝐻=𝑎=𝑐 sin α.
Пусть 𝐴 будет полюсом сферы, а 𝑍 - какой-нибудь точкой на оси и пусть 𝐶𝑍=𝑧. Пусть 𝑅 - произвольная точка в пространстве: 𝐶𝑅=𝑥, 𝐴𝐶𝑅=θ.
Пусть 𝑃 - точка пересечения сферы отрезком 𝐶𝑅.
Магнитный потенциал, создаваемый круговым током, равен потенциалу, создаваемому ограниченной этим током магнитной оболочкой с единичной мощностью. Поскольку форма поверхности оболочки безразлична (лишь бы она была ограничена данной окружностью), мы можем предположить, что она совпадает с поверхностью сферы.
В п. 670 мы показали, что если 𝑉 есть потенциал, создаваемый слоем материи с единичной поверхностной плотностью, распределённой по участку поверхности сферы, ограниченному её малой окружностью, то потенциал ω, создаваемый магнитной оболочкой, которая ограничена этой же окружностью и имеет единичную мощность, равен
ω
=-
1
𝑐
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟𝑉)
.
Мы должны, таким образом, прежде всего найти 𝑉.
Пусть заданная точка 𝑍 находится на оси окружности, тогда та часть потенциала в 𝑍, которая создаётся элементом 𝑑𝑆, расположенным на сферической поверхности в точке 𝑃, равна 𝑑𝑆/𝑍𝑃.
Это выражение можно разложить в один из двух следующих рядов по сферическим гармоникам:
𝑑𝑆
𝑐
⎧
⎨
⎩
𝑃₀
+
𝑃₁
𝑧
𝑐
+…+
𝑃
𝑖
𝑧𝑖
𝑐𝑖
+…
⎫
⎬
⎭
,
или
𝑑𝑆
𝑧
⎧
⎨
⎩
𝑃₀
+
𝑃₁
𝑐
𝑧
+…+
𝑃
𝑖
𝑐𝑖
𝑧𝑖
+…
⎫
⎬
⎭
,
первый ряд сходится при значениях 𝑧 меньших 𝑐, а второй - при 𝑧 больших 𝑐.
Записав 𝑑𝑆=-𝑐²𝑑μ𝑑φ и интегрируя по φ в пределах от 0 до 2π и по μ, - от cos α до 1, находим
𝑉
=
2π𝑐
⎧
⎨
⎩
1
∫
cos α
𝑃₀
𝑑μ
+…+
𝑧𝑖
𝑐𝑖
1
∫
cos α
𝑃
𝑖
𝑑μ
+…
⎫
⎬
⎭
,
(1)
или
𝑉
=
2π𝑐
𝑐²
𝑧
⎧
⎨
⎩
1
∫
cos α
𝑃₀
𝑑μ
+…+
𝑐𝑖
𝑧𝑖
1
∫
cos α
𝑃
𝑖
𝑑μ
+…
⎫
⎬
⎭
.
(1')
Для 𝑃𝑖 имеем характеристическое уравнение
𝑖(𝑖+1)
𝑃
𝑖
+
𝑑
𝑑μ
⎡
⎢
⎣
(1-μ²)
𝑑𝑃𝑖
𝑑μ
⎤
⎥
⎦
=
0.
Следовательно,
1
∫
μ
𝑃
𝑖
𝑑μ
=
1-μ²
𝑖(𝑖+1)
𝑑𝑃𝑖
𝑑μ
.
(2)
Это выражение утрачивает смысл при 𝑖=0, но поскольку 𝑃₀, то
1
∫
μ
𝑃
𝑖
𝑑μ
=
1-μ
.
(3)
Так как функция 𝑑𝑃𝑖/𝑑μ возникает на каждом этапе этого исследования, мы будем обозначать её сокращённо через 𝑃'𝑖. Величины 𝑃'𝑖, соответствующие нескольким значениям 𝑖, даны в п. 698.
Теперь мы можем написать значение 𝑉 в произвольной точке 𝑅, на оси или не на оси, путём замены 𝑟 на 𝑧 и умножения каждого из членов на зональную гармонику по θ того же порядка. Действительно, потенциал 𝑉 должен допускать разложение в ряд по зональным гармоникам по θ с соответствующими коэффициентами. При θ=0 каждая из зональных гармоник обращается в единицу, и точка 𝑅 лежит на оси. Следовательно, эти коэффициенты являются членами разложения 𝑉 для точки, расположенной на оси. Таким образом, мы получаем два ряда:
𝑉
=
2π𝑐
⎧
⎨
⎩
1-cos α
+…+
sin²α
𝑖(𝑖+1)
𝑟𝑖
𝑐𝑖
𝑃'
𝑖
(α)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
,
(4)
или
𝑉'
=
2π
𝑐²
𝑞
⎧
⎨
⎩
1-cos α
+…+
sin²α
𝑖(𝑖+1)
𝑐𝑖
𝑟𝑖
𝑃'
𝑖
(α)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
.
(4')
695. Теперь мы можем, согласно методу п. 670, найти величину потенциала контура ω из уравнения
ω
=-
1
𝑐
𝑑
𝑑𝑟
(𝑉𝑟)
.
(5)
Отсюда получаем два ряда:
ω
=
-2π
⎧
⎨
⎩
1-cos α
+…+
sin²α
𝑖
𝑟𝑖
𝑐𝑖
𝑃'
𝑖
(α)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
(6)
или
ω'
=
2π
sin²α
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐²
𝑟²
𝑃'₁(α)
𝑃₁(θ)
+…+
+
1
𝑖+1
𝑐𝑖+1
𝑟𝑖+1
𝑃'
𝑖
(α)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
.
(6')
Ряд (6) сходится при всех значениях 𝑟 меньших 𝑐, а ряд (6') сходится для всех значений 𝑟 больших 𝑐. На поверхности сферы, где 𝑟=𝑐, оба ряда дают одно и то же значение ω, если θ превышает α, т.е. для точек, не занятых магнитной оболочкой; если же величина θ меньше α, т.е. для точек, находящихся на магнитной оболочке,
ω'
=
ω
+
4π
.
