(7)
Если принять центр окружности 𝑂 за начало координат, мы должны положить α=π/2, и тогда ряды станут такими:
ω
=
-2π
⎧
⎨
⎩
1+
𝑟
𝑐
𝑃₁(θ)
+…+
+
(-)
𝑠
1⋅3…(2𝑠-1)
2⋅4…2𝑠
𝑟2𝑠+1
𝑐2𝑠+1
𝑃
2𝑠+1
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
,
(8)
ω
=
+2π
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐²
𝑟²
𝑃₁(θ)
+…+
+
(-)
𝑠
1⋅3…(2𝑠+1)
2⋅4…(2𝑠+2)
𝑐2𝑠+2
𝑟2𝑠+2
𝑃
2𝑠+1
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
,
(9)
где все гармоники являются гармониками нечётного порядка 1.
1 Величина телесного угла, опирающегося на окружность, может быть получена более непосредственным путём, а именно:
Телесный угол, опирающийся на окружность, с вершиной в точке 𝑍, находящейся на оси, как легко показать, равен ω = 2π
⎧
⎪
⎩ 1-
𝑧-𝑐 cos α
𝐻𝑍
⎫
⎪
⎭ .
Разлагая это выражение по сферическим гармоникам, находим ω = 2π
⎧
⎨
⎩ (cos α+1) + (𝑃₁(α) cos α - 𝑃₀(α))
𝑧
𝑐 +…+ + (𝑃₁(α) cos α - 𝑃𝑖-1(α))
𝑧𝑖
𝑐𝑖 +…
⎫
⎬
⎭ ,
эти разложения ω справедливы для точек на оси при 𝑧 меньших и больших 𝑐 соответственно.
Легко показать, что эти результаты совпадают с полученными в тексте.
О потенциальной энергии двух круговых токов
696. Предположим вначале, что две магнитные оболочки, эквивалентные этим токам, представляют собой участки двух концентричных сфер, имеющих радиусы 𝑐₁ и 𝑐₂, причём 𝑐₁ больше 𝑐₂ (рис. 47). Предположим также, что оси обеих оболочек совпадают и что α₁ и α₂ - это углы с вершинами в центре 𝐶, опирающиеся на радиус первой оболочки и на радиус второй оболочки соответственно.
Рис. 47
Пусть ω₁ - потенциал, создаваемый первой оболочкой в произвольной точке, находящейся на этой же оболочке; тогда работа, необходимая для удаления второй оболочки на бесконечное расстояние, выражается величиной следующего поверхностного интеграла:
𝑀
=-
∬
𝑑ω₁
𝑑𝑟
𝑑𝑆
,
распространённого на всю вторую оболочку. Следовательно,
𝑀
=
1
∫
μ₂
𝑑ω₁
𝑑𝑟
2π𝑐₂²
𝑑μ₂
,
=
4π²
sin²α₁
𝑐₂²
⎧
⎨
⎩
1
𝑐₁
𝑃'₁(α₁)
1
∫
μ₂
𝑃₁(θ)
μ₂
+…+
+
𝑐₂𝑖-1
𝑐𝑖
𝑃'
𝑖
(α₁)
1
∫
μ₂
𝑃
𝑖
(θ)
μ₂
+…
⎫
⎬
⎭
,
или, подставляя значения интегралов из уравнения (2) п. 694,
𝑀
=
4π²
sin²α₁
sin²α₂
𝑐₂
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐₂
𝑐₁
𝑃'₁(α₁)
𝑃'₁(α₂)
+…+
+
1
𝑖(𝑖+1)
𝑐₂𝑖
𝑐₁𝑖
𝑃'
𝑖
(α₁)
𝑃'
𝑖
(α₂)
+…
⎫
⎬
⎭
.
697. Предположим теперь, что ось одной из оболочек повёрнута относительно точки 𝐶, взятой за центр, и составляет с осью другой оболочки угол θ (рис. 48).
Рис. 48
Нам нужно только ввести в выражение для 𝑀 зональные гармоники по θ, и мы найдём более общую формулу для 𝑀:
𝑀
=
4π²
sin²α₁
sin²α₂
𝑐₂²
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐₂
𝑐₁
𝑃'₁(α₁)
𝑃'₁(α₂)
𝑃₁(θ)
+…+
+
1
𝑖(𝑖+1)
𝑐₂𝑖
𝑐₁𝑖
𝑃'
𝑖
(α₁)
𝑃'
𝑖
(α₂)
𝑃
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
.
Это и есть величина потенциальной энергии, обусловленной взаимным действием двух круговых токов единичной силы, расположенных так, что нормали, проходящие через центры кругов, пересекаются друг с другом в точке 𝐶 под углом θ, причём расстояния от периметров окружностей до точки 𝐶 равны 𝑐₁ и 𝑐₂, и 𝑐₁ больше 𝑐₂.
Если какое-то смещение 𝑑𝑥 меняет значение 𝑀, то сила, действующая в направлении этого смещения, есть 𝑋=𝑑𝑀/𝑑𝑥.
Например, если ось одной из оболочек может свободно вращаться вокруг точки 𝐶, вызывая изменение θ, то момент силы, стремящийся увеличить θ, равен Θ, где Θ=𝑑𝑀/𝑑θ.
Выполняя дифференцирование и помня, что
𝑑𝑃𝑖(θ)
𝑑θ
=-
sin θ
𝑃'
𝑖
(θ)
где 𝑃'𝑖 имеет тот же смысл, что и в предыдущих уравнениях, получим
Θ
=
-4π²
sin²α₁
sin²α₂
sin θ
𝑐₂
×
×
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑐₂
𝑐₁
𝑃'₁(α₁)
𝑃'₁(α₂)
𝑃'₁(θ)
+…+
+
1
𝑖(𝑖+1)
𝑐₂𝑖
𝑐₁𝑖
𝑃'
𝑖
(α₁)
𝑃'
𝑖
(α₂)
𝑃'
𝑖
(θ)
+…
⎫
⎬
⎭
.
698. В связи с тем что в этих вычислениях часто встречаются величины 𝑃'𝑖, может оказаться полезной следующая таблица выражений для функций 𝑃'𝑖 первых шести порядков; в этой таблице вместо cos θ фигурирует μ и ν вместо sin θ:
𝑃'₁
=
1,
𝑃'₂
=
3μ,
𝑃'₃
=
3
2
(5μ²-1)
=
6
⎛
⎜
⎝
μ²
-
1
4
ν²
⎞
⎟
⎠
,
𝑃'₄
=
5
2
μ(7μ²-3)
=
10μ
⎛
⎜
⎝
μ²
-
3
4
ν²
⎞
⎟
⎠
,
