𝑃'₅
=
15
8
(21μ⁴-14μ²+1)
=
15
⎛
⎜
⎝
μ⁴
-
3
2
μ²ν²
+
1
8
ν⁴
⎞
⎟
⎠
,
𝑃'₆
=
21
8
μ(33μ⁴-33μ²+5)
=
21μ
⎛
⎜
⎝
μ⁴
-
5
2
μ²ν²
+
5
8
ν⁴
⎞
⎟
⎠
.
699. Иногда удобно представить ряды для 𝑀 как функции некоторых «линейных» величин следующим образом.
Пусть 𝑎 - радиус малого контура, 𝑏 - расстояние от начала координат до плоскости контура и 𝑐=√𝑎²+𝑏².
Пусть 𝐴 𝐵 и 𝐶 - соответствующие величины для большого контура.
Тогда ряды для 𝑀 могут быть записаны в виде
𝑀
=
1⋅2⋅π²
𝐴²
𝐶³
𝑎²
cos θ
+
2⋅3⋅π²
𝐴²𝐵
𝐶⁵
𝑎²𝑏
(cos²θ-½sin²θ)
+
3⋅4⋅π²
𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)
𝐶⁷
𝑎²(𝑏²-¼𝑎²)
×
×
(cos³θ
-
3
2
sin²θcos θ)
+
…
.
Если положить θ=0, то две окружности будут параллельными и будут иметь общую ось. Для того чтобы определить притяжение между ними, мы можем продифференцировать 𝑀 по 𝑏. В результате найдём
𝑑𝑀
𝑑𝑏
=
π²
𝐴²𝑎²
𝐶⁴
⎧
⎨
⎩
2⋅3
𝐵
𝐶
+
2⋅3⋅4
𝐵²-¼𝐴²
𝐶³
𝑏
+…
⎫
⎬
⎭
.
700. Чтобы вычислить действие катушки прямоугольного сечения, мы должны найденное выражение проинтегрировать по радиусу катушки 𝐴 и по расстоянию 𝐵 от её плоскости до начала координат, распространив интегрирование на всю ширину и высоту катушки.
В некоторых случаях непосредственное интегрирование наиболее удобно, однако существуют и другие случаи, когда к более полезным результатам приводит следующий метод аппроксимации.
Пусть 𝑃 - произвольная функция 𝑥 и 𝑦, требуется найти значение 𝑃, где
𝑃
𝑥𝑦
=
+½𝑥
∫
-½𝑥
+½𝑦
∫
-½𝑦
𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑦
.
В этом выражении 𝑃 есть среднее значение 𝑃 внутри пределов интегрирования.
Обозначим через 𝑃₀ значение 𝑃 при 𝑥=0 и 𝑦=0, тогда, разлагая 𝑃 по теореме Тейлора, получим
𝑃
=
𝑃₀
+
𝑥
𝑑𝑃₀
𝑑𝑥
+
𝑦
𝑑𝑃₀
𝑑𝑦
+
1
2
𝑥²
𝑑²𝑃₀
𝑑𝑥²
+…
.
Проинтегрировав это выражение в прежних пределах и разделив результат на 𝑥𝑦, мы получим для 𝑃:
𝑃
=
𝑃₀
+
1
24
⎛
⎜
⎝
𝑥²
𝑑²𝑃₀
𝑑𝑥²
+
𝑦²
𝑑²𝑃₀
𝑑𝑦²
⎞
⎟
⎠
+
+
1
1920
⎛
⎜
⎝
𝑥⁴
𝑑⁴𝑃₀
𝑑𝑥⁴
+
𝑦⁴
𝑑⁴𝑃₀
𝑑𝑦⁴
⎞
⎟
⎠
+
1
576
𝑥²𝑦
𝑑⁴𝑃₀
𝑑𝑥²𝑑𝑦²
+…
.
Рассмотрим катушку, у которой внешний и внутренний радиусы соответственно равны 𝐴+ξ/2 и 𝐴-ξ/2, а расстояние плоскостей намотки до начала координат лежит в пределах от 𝐵+η/2 до 𝐵-η/2. В этом случае ширина катушки равна η, её глубина - ξ; пусть эти величины малы по сравнению с 𝐴 или 𝐶.
Для того чтобы подсчитать магнитное действие данной катушки, мы можем выписать последовательные члены рядов (6) и (6') п. 695 в следующем виде:
𝐺₀
=
π
𝐵
𝐶
⎧
⎨
⎩
1+
1
24
2𝐴²-𝐵²
𝐶⁴
ξ²
-
1
8
𝐴²
𝐶⁴
η²
+…
⎫
⎬
⎭
,
𝐺₁
=
2π
𝐴²
𝐶³
⎧
⎨
⎩
1+
1
24
⎛
⎜
⎝
2
𝐴²
-15
𝐵²
𝐶⁴
⎞
⎟
⎠
ξ
+
1
8
4𝐵²-𝐴²
𝐶⁴
η²
+…
⎫
⎬
⎭
,
𝐺₂
=
3π
𝐴²𝐵
𝐶⁵
⎧
⎨
⎩
1+
1
24
⎛
⎜
⎝
1
𝐴²
-
25
𝐶²
+
35𝐴²
𝐶⁴
⎞
⎟
⎠
ξ²
+
+
5
24
4𝐵²-𝐴²
𝐶⁴
η²
+…
⎫
⎬
⎭
,
𝐺₃
=
4π
𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)
𝐶⁷
+
+
π
24
ξ²
𝐶¹¹
{
𝐶⁴(8𝐵²-12𝐴²)
+
35𝐴²𝐵²(5𝐴²-𝐵²)
}+
+
5
8
πη²
𝐶¹¹
𝐴²{𝐴⁴-12𝐴²𝐵²+𝐵⁴}
,
…
, … ,
𝑔₁
=
π𝑎²
+
1
12
πξ²
,
𝑔₂
=
2π𝑎²𝑏
+
1
6
π𝑏ξ²
,
𝑔₃
=
3π𝑎²
(𝑏²-¼𝑎²)
+
π
8
ξ²(2𝑏²-3𝑎²)
+
π
4
η²
𝑎²
,
…
,
… .
Величины 𝐺₀, 𝐺₁, 𝐺₂, … относятся к большой катушке. Значение ω для точек, где 𝑟 меньше 𝐶, равно
ω
=-
2π
+
2𝐺₀
-
𝐺₁𝑟𝑃₁(θ)
-
𝐺₂𝑟²𝑃₂(θ)
-
… .
Величины 𝑔₁, 𝑔₂, … относятся к малой катушке. Значения ω' в точках, где 𝑟 больше 𝐶, равны
ω'
=
𝑔₁
1
𝑟²
𝑃₁(θ)
+
𝑔₂
1
𝑟³
𝑃₂(θ)
+
… .
Потенциал одной из этих катушек по отношению к другой в том случае, когда общий ток, протекающий через сечение каждой катушки, равен единице, следующий
𝑀
=
𝐺₁𝑔₁𝑃₁(θ)
