16
𝑐₂²
𝑐₁²
-
1
128
𝑐₂⁴
𝑐₁⁴
+
….
(23)
679. Если соленоид состоит из многих слоёв, образованных проводом такого диаметра, что в единичном интервале длины укладывается 𝑛 слоёв, то число слоёв внутри 𝑑𝑟 равно 𝑛𝑑𝑟, и мы имеем
𝐺
=
4π
∫
𝑛²
𝑑𝑟
и
𝑔
=
π𝑙
∫
𝑛²
𝑟²
𝑑𝑟
.
(24)
Если толщина провода постоянна, а индукция имеет место между внешней катушкой, наружный и внутренний радиусы которой равны 𝑥 и 𝑦, и внутренней катушкой с наружным и внутренним радиусами 𝑦 и 𝑧, то в пренебрежении влиянием концов
𝐺𝑔
=
4
3
π²
𝑙𝑛₁²𝑛₂²
(𝑥-𝑦)
(𝑦³-𝑧³)
.
(25)
Чтобы эта величина была максимальной при заданных 𝑥 и 𝑧 и переменном 𝑦, необходимо
𝑥
=
4
3
𝑦
-
1
3
𝑧³
𝑦²
.
(26)
Данное уравнение устанавливает наиболее выгодное соотношение между толщинами первичной и вторичной обмоток в индукционных машинах, не содержащих железных сердечников.
При наличии железного сердечника радиуса 𝑧 величина 𝐺 остаётся прежней, но
𝑔
=
π𝑙
∫
𝑛²
(𝑟²-4πϰ𝑧²)
𝑑𝑟
,
(27)
=
π𝑙𝑛²
⎛
⎜
⎝
𝑦³-𝑧³
3
+
4πϰ𝑧²
(𝑦-𝑧)
⎞
⎟
⎠
.
(28)
Если значение 𝑦 задано, то величина 𝑧, соответствующая максимуму 𝑔, равна
𝑧
=
2
3
𝑦
12πϰ
12πϰ+1
.
(29)
Когда число ϰ велико, как в случае железа, то приближённо 𝑧=2/3⋅𝑦.
Если теперь зафиксировать значение 𝑥, а 𝑦 и 𝑧 сделать переменными, мы получим, что при больших ϰ максимум 𝐺𝑔 достигается, если
𝑥:𝑦:𝑧
::
4:3:2
.
(30)
Коэффициент самоиндукции на единицу длины длинного соленоида, внешние и внутренние радиусы которого равны 𝑥 и 𝑦 и который содержит длинный железный сердечник радиуса 𝑧, равен
4π
𝑥
∫
𝑦
⎧
⎨
⎩
π
𝑥
∫
ρ
𝑛²(ρ²+4πϰ𝑧²)
𝑑𝑟
+
π
ρ
∫
𝑦
𝑛²(𝑟²+4πϰ𝑧²)
𝑑𝑟
⎫
⎬
⎭
𝑛²
𝑑ρ
,
=
2
3
π²𝑛⁴
(𝑥-𝑦)²
(𝑥²+2𝑥𝑦+3𝑦²+24πϰ𝑧²)
.
(31)
680. До сих пор мы считали провод однородным по толщине. Теперь же мы установим закон, по которому должна изменяться толщина провода в различных слоях, чтобы при заданном сопротивлении первичной и вторичной обмотки величина коэффициента взаимной индукции могла достигать максимума.
Пусть сопротивление на единицу длины провода, 𝑛 витков которого укладываются в единице длины соленоида, равно ρ𝑛².
Сопротивление всего соленоида равно
𝑅
=
2πρ𝑙
∫
𝑛⁴𝑟
𝑑𝑟
.
(32)
При заданном 𝑅 величина 𝐺 имеет максимум при условии
𝑑𝐺
𝑑𝑟
=
𝐶
𝑑𝑅
𝑑𝑟
,
где 𝐶 - некоторая постоянная.
Отсюда следует, что величина 𝑛² пропорциональна 1/𝑟, или что толщина провода наружной катушки должна быть пропорциональна корню квадратному из радиуса слоя.
Для того чтобы при заданном значении 𝑅 величина 𝑔 была максимальна, нужно
𝑛²
=
𝐶
⎛
⎜
⎝
𝑟
+
4πϰ𝑧²
𝑟
⎞
⎟
⎠
.
(33)
Следовательно, при отсутствии железного сердечника толщина провода внутренней катушки должна быть обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса слоя, а при наличии железного сердечника, обладающего высокой восприимчивостью к намагничиванию, закон изменения толщины провода был бы более близок к прямой пропорциональности корню квадратному из радиуса слоя.
Бесконечный соленоид
681. Если объёмное тело образовано вращением плоской площадки 𝐴 вокруг оси, лежащей в её плоскости, но её не пересекающей, то оно будет иметь форму кольца. Пусть такое кольцо обмотано проводом, витки которого располагаются в плоскости, проходящей через ось кольца; тогда функция тока проволочного слоя будет равна φ=(1/2π)𝑛γθ, где 𝑛 - полное число витков, а θ - азимутальный угол, отсчитываемый вокруг оси кольца.
Если Ω - магнитный потенциал внутри кольца, а Ω' - вне его, то
Ω
-
Ω
'
=-
4πφ
+
𝐶
=-
2𝑛γθ
+
𝐶
.
Снаружи кольца потенциал Ω' должен удовлетворять уравнению Лапласа и исчезать на бесконечном расстоянии. Как следует из природы самой задачи, этот потенциал должен быть функцией только угла θ. А единственным значением Ω', удовлетворяющим этим условиям, является ноль. Следовательно, Ω'=0, Ω=-2𝑛γθ+𝐶.
Магнитная сила в любой точке, находящейся внутри кольца, перпендикулярна плоскости, проходящей через ось, и равна величине 2𝑛γ, где 𝑟 - расстояние от оси. Вне кольца магнитная сила отсутствует.
Если форма замкнутой кривой задана координатами текущей точки 𝑧, 𝑟 и θ, как функция её расстояния 𝑠 от некоторой фиксированной точки, то поток магнитной индукции сквозь эту замкнутую кривую можно найти интегрированием вдоль неё вектор-потенциала, составляющие которого равны
𝐹
=
2𝑛γ𝑥𝑧
𝑟²
,
𝐺
=
2𝑛γ𝑦𝑧
𝑟²
,
𝐻
=
0.
Таким образом, мы находим
2𝑛γ
𝑠
∫
0
𝑧
𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠
,
интеграл берётся вдоль кривой при условии, что она целиком лежит внутри кольца. Если же кривая целиком находится вне кольца, но охватывает его, то поток магнитной индукции сквозь кривую равен
2𝑛γ
𝑠'
∫
0
𝑧'
𝑟'
𝑑𝑟'
𝑑𝑠'
𝑑𝑠'
=
2𝑛γ𝑎
,
где 𝑎 есть «линейная» величина
𝑠'
∫
0
𝑧'
𝑟'
𝑑𝑟'
𝑑𝑠'
𝑑𝑠'
,
а штрихованные координаты относятся не к замкнутой кривой, а к одиночному витку соленоида.
Таким образом, поток магнитной индукции сквозь любую замкнутую кривую, охватывающую кольцо, всюду одинаков и равен 2𝑛γ𝑎. Если же замкнутая кривая не охватывает кольцо, поток магнитной индукции сквозь неё равен нулю.
