Ω
=
𝑛γ(
𝑉₁
-
𝑉₂
),
(11)
а внутри области, ограниченной соленоидом и его плоскими торцами,
Ω
=
𝑛γ(
-
4π𝑧
+
𝑉₁
-
𝑉₂
).
(12)
Магнитный потенциал терпит разрыв на плоских торцах соленоида в то время, когда магнитная сила непрерывна.
Если расстояния 𝑟₁ и 𝑟₂ от центров инерции соответственно положительного и отрицательного плоских торцов соленоида до точки (𝑥,𝑦,𝑧) очень велики по сравнению с поперечными размерами соленоида, то можно написать
𝑉₁
=
𝐴
𝑟₁
,
𝑉₂
=
𝐴
𝑟₂
,
(13)
где 𝐴 - площадь любого из этих сечений.
Следовательно, магнитная сила вне соленоида очень мала, а сила внутри соленоида приближается к силе, направленной параллельно оси в положительном направлении и равной 4π𝑛γ.
Если сечение соленоида представляет собой круг радиуса 𝑎, то значения 𝑉₁ и 𝑉₂ могут быть выражены через ряды по сферическим гармоникам, приведённым в книге Томсона и Тэта «Натуральная философия»5:
𝑉
=
2π
⎧
⎨
⎩
-
𝑟𝑃₁
+
𝑎
+
1
2
𝑟²
𝑎
𝑃₂
-
1⋅1
2⋅4
𝑟⁴
𝑎³
𝑃₄
+
+
1⋅1⋅3
2⋅4⋅6
𝑟⁶
𝑎⁶
𝑃₆
-
…
⎫
⎬
⎭
при 𝑟 < 𝑎,
(14)
𝑉
=
2π
⎧
⎨
⎩
1
2
𝑎²
𝑟
-
1⋅1
2⋅4
𝑎⁴
𝑟³
𝑃₂
-
1⋅1⋅3
2⋅4⋅6
𝑎⁶
𝑟⁵
𝑃₄
-
-
…
⎫
⎬
⎭
при 𝑟 > 𝑎.
(15)
5 Thomson and Tait, Natural Philosophy, Art. 546, Ex. II.
В этих выражениях величина 𝑟 есть расстояние до точки (𝑥,𝑦,𝑧) от центра одного из круговых торцов соленоида; зональные гармоники 𝑃₁, 𝑃₂, … являются гармониками, соответствующими углу θ, который составляет с осью цилиндра радиус-вектор 𝑟.
Производная по 𝑧 от первого из этих выражений терпит скачок при θ=π/2; однако мы должны помнить, что внутри соленоида к магнитной силе, выведенной из этого выражения, следует добавить продольную силу 4π𝑛γ.
677. Теперь рассмотрим соленоид настолько длинный, что в изучаемой нами области пространства можно пренебречь членами, зависящими от расстояния до концов соленоида.
Поток магнитной индукции сквозь любую замкнутую кривую, проведённую в пределах соленоида, равен 4π𝑛γ𝐴', где 𝐴' площадь, ограничиваемая проекцией этой кривой на плоскость, нормальную к оси соленоида.
Если замкнутая кривая расположена вне соленоида, но окружает его, то поток магнитной индукции сквозь кривую равен 4π𝑛γ𝐴, где 𝐴 - площадь сечения соленоида. Если же замкнутая кривая не окружает соленоид, то поток магнитной индукции сквозь неё равен нулю.
Коэффициент индукции между соленоидом и проводом, 𝑛' раз обмотанным вокруг соленоида, равен
𝑀
=
4π𝑛𝑛'𝐴
.
(16)
Предполагая, что эти витки совпадают с 𝑛 витками соленоида, мы найдём, что коэффициент самоиндукции на единичный элемент длины соленоида, взятый на достаточном удалении от его краёв, равен
𝐿
=
4π𝑛²𝐴
.
(17)
Вблизи концов соленоида необходимо принять во внимание члены, зависящие от воображаемого распределения магнетизма на плоских торцах соленоида. Эффект, обусловленный этими членами, состоит в том, что коэффициент индукции между соленоидом и окружающим его контуром становится меньше величины 4π𝑛𝐴; последняя относится к контуру, окружающему очень длинный соленоид и расположенному на большом расстоянии от обоих его концов.
Возьмём случай двух круговых коаксиальных соленоидов одинаковой длины 𝑙. Пусть радиус внешнего соленоида равен 𝑐₁ и пусть провод намотан так, что на единицу длины соленоида приходится 𝑛₁ витков. Пусть радиус внутреннего соленоида равен 𝑐₂, а число витков на единицу длины равно 𝑛₂. Тогда коэффициент индукции между этими соленоидами, если пренебречь влиянием концов, будет равен
𝑀
=
𝐺𝑔
,
(18)
где
𝐺
=
4π𝑛₁
(19)
и
𝑔
=
π𝑐₂²𝑙𝑛₂
.
(20)
678. Для того чтобы определить влияние положительного конца соленоида, мы должны вычислить коэффициент индукции внешнего соленоида, обусловленный действием круглого диска, являющегося торцом внутреннего соленоида. Для этой цели возьмём второе выражение для 𝑉, заданное соотношением (15), и продифференцируем его по 𝑟. Это даст магнитную силу в радиальном направлении. Затем, умножив это выражение на 2π𝑟𝑑μ, проинтегрируем его по μ от μ=1 до μ=𝑧/√𝑧²+𝑐₁². Это даёт коэффициент индукции по отношению к единичному витку внешнего соленоида, расположенному на расстоянии 𝑧 от положительного конца. Далее, умножив это выражение на 𝑑𝑧, проинтегрируем его от 𝑧=𝑙 до 𝑧=0. И, наконец, умножив полученный результат на 𝑛₁𝑛₂, найдём вклад одного из концов в общий эффект уменьшения коэффициента индукции.
Таким образом, мы находим коэффициент взаимной индукции 𝑀 между двумя цилиндрами:
𝑀
=
4π²
𝑛₁𝑛₂𝑐₂²
(𝑙-2𝑐₁α)
,
(21)
где
α
=
1
2
𝑐₁+𝑙+𝑟
𝑐₁
-
1⋅3
2⋅4
1
2⋅3
𝑐₂²
𝑐₁²
⎛
⎜
⎝
1
-
𝑐₁²
𝑟²
⎞
⎟
⎠
+
+
1⋅3⋅5
2⋅4⋅6
⋅
1
4⋅5
𝑐₂⁴
𝑐₁⁴
⎛
⎜
⎝
-
1
2
-2
𝑐₁⁵
𝑟⁵
+
5
2
𝑐₁⁷
𝑟⁷
⎞
⎟
⎠
+…
,
(22)
где для краткости величина √𝑙²+𝑐₁² обозначена через 𝑟.
Как ясно отсюда, при вычислении взаимной индукции двух коаксиальных соленоидов мы должны использовать в выражении (20) вместо истинной длины 𝑙 некоторую подправленную длину 𝑙-2𝑐₁α, при которой соленоиды на каждом из концов предполагаются укороченными на величину α𝑐₁. Если длина соленоида значительно превышает его внешний радиус, то
α
=
1
2
-
1
