Если 𝑁 есть полное число витков, а γ - сила тока в каждом из них, то φ=½𝑁γ cos θ.
Отсюда магнитная сила внутри катушки равна
𝑀
=
4π
3
𝑁γ
𝑎
.
673. Теперь определим способ намотки провода, приводящий к созданию внутри сферы магнитного потенциала в виде объёмной зональной гармоники второго порядка:
Ω
=
-3
1
𝑎
𝐴
𝑟²
𝑎²
⎛
⎜
⎝
3
2
cos²θ
-
1
2
⎞
⎟
⎠
.
Здесь
φ
=
5
4π
𝐴
𝑎
⎛
⎜
⎝
3
2
cos²θ
-
1
2
⎞
⎟
⎠
.
Если полное число витков равно 𝑁. то число витков, укладывающихся между полюсом и полярным углом θ, будет ½𝑁sin²θ.
Плотнее всего витки расположены на широте 45°. На экваторе направление намотки меняется, и в другой полусфере витки имеют противоположное направление.
Пусть γ есть сила тока в проводе, тогда внутри оболочки
Ω
=-
4π
5
𝑁γ
𝑟²
𝑎²
⎛
⎜
⎝
3
2
cos²θ
-
1
2
⎞
⎟
⎠
.
Рассмотрим теперь проводник в форме плоской замкнутой кривой, расположенный в произвольном месте внутри оболочки в плоскости, перпендикулярной её оси. Для определения коэффициента индукции проводника мы должны найти Поверхностный интеграл от -𝑑Ω/𝑑𝑧 по плоской площадке, ограниченной этой кривой, положив γ=1.
В этом случае
Ω
=-
4π
5𝑎²
𝑁
⎧
⎨
⎩
𝑧²
-
1
2
(𝑥²+𝑦²)
⎫
⎬
⎭
и
-
𝑑Ω
𝑑𝑧
=
8π
5𝑎²
𝑁
⋅
𝑧
.
Следовательно, если 𝑆 есть площадь, ограниченная замкнутой кривой, то её коэффициент индукции равен
𝑀
=
8π
5𝑎²
𝑁𝑆𝑧
.
Если ток в этом проводнике равен γ', то, согласно п. 583, должна существовать сила 𝑍, действующая на проводник в направлении 𝑧, равная
𝑍
=
γγ'
𝑑𝑀
𝑑𝑧
=
8π
5𝑎²
𝑁𝑆
γγ'
,
и, поскольку это выражение не зависит от 𝑥, 𝑦, 𝑧, сила оказывается одной и той же, в какую бы часть оболочки ни был помещён данный контур.
674. Метод, предложенный Пуассоном и описанный в п. 437, может быть применён к токовым листам, если вместо тела, которое предполагается однородно намагниченным в 𝑧-направлении с интенсивностью 𝐼, взять токовый лист, имеющий форму поверхности тела и обладающий функцией тока, равной
φ
=
𝐼𝑧
.
(1)
Токи, текущие по листу, расположены в плоскости, параллельной плоскости 𝑥𝑦 сила тока, циркулирующего по срезу толщиной 𝑑𝑧, равна 𝐼𝑑𝑧.
В любой точке вне токового листа магнитный потенциал, обусловленный им, равен
Ω
=-
𝐼
𝑑𝑉
𝑑𝑧
,
(2)
где 𝑉 - потенциал, создаваемый листом с единичной поверхностной плотностью. В произвольной точке внутри оболочки потенциал равен
Ω
=-
4π𝐼𝑧
-
𝐼
𝑑𝑉
𝑑𝑧
.
(3)
Составляющие вектор-потенциала равны
𝐹
=
𝐼
𝑑𝑉
𝑑𝑦
,
𝐺
=-
𝐼
𝑑𝑉
𝑑𝑥
,
𝐻
=
0,
(4)
Эти результаты могут быть применены к различным случаям, возникающим на практике.
675. (1). Плоский электрический контур произвольной формы.
Пусть 𝑉 есть потенциал, создаваемый плоским листом произвольной формы, имеющим единичную поверхностную плотность; тогда, если этот лист заменить либо на магнитную оболочку мощности 𝐼, либо на электрический ток силы 𝐼, текущий по её границе, величины Ω, и 𝐹, 𝐺, 𝐻 будут иметь значения, приведённые выше.
(2). Для сплошного шара радиуса 𝑎
𝑉
=
4π
3
𝑎³
𝑟
,
когда
𝑟
больше
𝑎
,
(5)
и
𝑉
=
2π
3
(3𝑎²-𝑟²)
,
когда
𝑟
меньше
𝑎
.
(6)
Следовательно, если такой шар намагничен параллельно направлению 𝑧 с интенсивностью 𝐼, то магнитный потенциал равен
Ω
=
4π
3
𝐼
𝑎³
𝑟³
𝑧
вне шара
(7)
и
Ω
=
4π
3
𝐼𝑧
внутри шара.
(8)
Если вместо намагничивания обмотать шар эквидистантно расположенными круговыми витками с током так, чтобы суммарная сила тока между двумя малыми окружностями, плоскости которых находятся на единичном расстоянии друг от друга, была 𝐼, то вне шара значения Ω остаётся прежним, а внутри станет равным
Ω
=-
8π
3
𝐼𝑧
.
(9)
Этот случай уже обсуждался в п. 672.
(3). Случай эллипсоида, однородно намагниченного параллельно некоторой заданной линии, тоже уже обсуждался в п. 437.
Если эллипсоид обмотан проводом по параллельным и эквидистантным плоскостям, то магнитная сила внутри него будет однородной.
(4). Цилиндрический магнит или соленоид
676. Если тело представляет собой цилиндр с сечением произвольной формы, ограниченный плоскостями, перпендикулярными его образующим, и если 𝑉₁ является потенциалом, создаваемым в точке (𝑥,𝑦,𝑧) плоской площадкой, совпадающей с положительным торцом соленоида и несущей единичную поверхностную плотность, а 𝑉₂ - потенциалом, создаваемым в той же самой точке плоской площадкой, совпадающей с отрицательным торцом соленоида и тоже несущей единичную поверхностную плотность, то потенциал цилиндра, однородно и продольно намагниченного с единичной интенсивностью, создаваемый в точке (𝑥,𝑦,𝑧), будет равен
Ω
=
𝑉₁
-
𝑉₂
.
(10)
Если вместо намагниченного цилиндра взять цилиндр, равномерно обмотанный проводом с 𝑛 витками на единицу его длины и пустить по проводу ток γ, то магнитный потенциал вне соленоида будет, как и прежде, равен
