Сферический токовый лист
670. Пусть φ есть функция тока в какой-либо точке 𝑄 сферического токового листа, а 𝑃 - потенциал, создаваемый в данной точке слоем воображаемой материи, распределённой по сфере с поверхностной плотностью φ. Требуется отыскать магнитный потенциал и вектор-потенциал токового слоя, выраженные через 𝑃.
Рис. 39
Пусть 𝑎 - радиус сферы, 𝑟 - расстояние от центра до данной точки, а 𝑝 - обратное расстояние между данной точкой и точкой на сфере 𝑄. в которой функция тока равна φ [рис. 39].
Действие токового листа в какой-либо точке вне его вещества совпадает с действием магнитной оболочки, мощность которой в любой точке численно равна функции тока.
Взаимный потенциал магнитной оболочки и единичного полюса, помещённого в точку 𝑃, согласно п. 410, равны
Ω
=
∬
φ
𝑑𝑝
𝑑𝑎
𝑑𝑆
.
Так как 𝑝 является однородной функцией степени -1 по 𝑟 и по 𝑎, то
𝑎
𝑑𝑝
𝑑𝑎
+
𝑟
𝑑𝑝
𝑑𝑟
=-
𝑝
,
или
𝑑𝑝
𝑑𝑎
=-
1
𝑎
𝑑
𝑑𝑟
(𝑝𝑟)
,
и
Ω
=-
∬
φ
𝑎
𝑑
𝑑𝑟
(𝑝𝑟)
𝑑𝑆
.
Поскольку на поверхности интегрирования величины 𝑟 и 𝑎 постоянны, то
Ω
=-
1
𝑎
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑟
∬
φ𝑝
𝑑𝑆
⎞
⎟
⎠
.
Но поскольку 𝑃 есть потенциал, обусловленный слоем воображаемой материи с поверхностной плотностью φ, то 𝑃=∬φ𝑝𝑑𝑆, поэтому магнитный потенциал токового листа 𝑄 может быть выражен через 𝑃 в виде
Ω
=-
1
𝑎
𝑑
𝑑𝑟
(𝑃𝑟)
.
671. Из приведённого в п. 416 выражения мы можем определить величину 𝑥-составляющей вектор-потенциала 𝐹:
𝐹
=
∬
φ
⎛
⎜
⎝
𝑚
𝑑𝑝
𝑑ζ
-
𝑛
𝑑𝑝
𝑑η
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑆
,
где ξ, η, ζ - координаты элемента 𝑑𝑆, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали.
Так как токовый лист имеет форму сферы, направляющие косинусы нормали равны
𝑙
=
ξ
𝑎
,
𝑚
=
η
𝑎
,
𝑛
=
ζ
𝑎
,
Но
𝑑𝑝
𝑑ζ
=
(𝑧-ζ)𝑝³
=-
𝑑𝑝
𝑑𝑧
,
и
𝑑𝑝
𝑑η
=
(𝑧-η)𝑝³
=-
𝑑𝑝
𝑑𝑦
,
так что
𝑚
𝑑𝑝
𝑑ζ
-
𝑛
𝑑𝑝
𝑑η
=
{η(𝑧-ζ)-ζ(𝑦-η)}
𝑝³
𝑎
,
=
{𝑧(η-𝑦)-𝑦(ζ-𝑧)}
𝑝³
𝑎
,
=
𝑧
𝑎
𝑑𝑝
𝑑𝑦
-
𝑦
𝑎
𝑑𝑝
𝑑𝑧
.
Умножая последнее выражение на φ𝑑𝑆 и интегрируя по поверхности сферы, находим
𝐹
=
𝑧
𝑎
𝑑𝑃
𝑑𝑦
-
𝑦
𝑎
𝑑𝑃
𝑑𝑧
.
Аналогично
𝐺
=
𝑥
𝑎
𝑑𝑃
𝑑𝑧
-
𝑧
𝑎
𝑑𝑃
𝑑𝑥
,
𝐻
=
𝑦
𝑎
𝑑𝑃
𝑑𝑥
-
𝑥
𝑎
𝑑𝑃
𝑑𝑦
.
Вектор 𝔄, составляющими которого являются 𝐹, 𝐺, 𝐻, очевидно, перпендикулярен к радиус-вектору 𝑟 и вектору, компоненты которого равны 𝑑𝑃/𝑑𝑥, 𝑑𝑃/𝑑𝑦, 𝑑𝑃/𝑑𝑧. Если мы найдём линии пересечения сферической поверхности радиуса 𝑟 с семейством эквипотенциальных поверхностей, соответствующих значениям 𝑃, меняющимся по арифметической прогрессии, то направление этих линий определит направление вектора 𝔄, а их плотность - величину этого вектора.
На языке кватернионов
𝔄
=
1
𝑎
𝑉.ρ∇𝑃
.
672. Если предположить, что внутри сферы величина 𝑃 равна
𝑃
=
𝐴
⎛
⎜
⎝
𝑟
𝑎
⎞𝑖
⎟
⎠
𝑌
𝑖
,
где 𝑌𝑖 есть сферическая гармоника порядка 𝑖, то вне сферы
𝑃'
=
𝐴
⎛
⎜
⎝
𝑟
𝑎
⎞𝑖+1
⎟
⎠
𝑌
𝑖
.
Функция тока φ, поскольку
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑃
𝑑𝑟
-
𝑑𝑃'
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠𝑟=𝑎
=
4πφ
,
определяется равенством
φ
=
2𝑖+1
4π
⋅
1
𝑎
𝐴𝑌
𝑖
.
Магнитный потенциал внутри сферы равен
Ω
=
-(𝑖+1)
1
𝑎
𝐴
⎛
⎜
⎝
𝑟
𝑎
⎞𝑖
⎟
⎠
𝑌
𝑖
,
а вне сферы
Ω
'
=
𝑖
1
𝑎
𝐴
⎛
⎜
⎝
𝑎
𝑟
⎞𝑖+1
⎟
⎠
𝑌
𝑖
,
Пусть, например, при помощи провода, свёрнутого в форме сферической оболочки, необходимо создать внутри этой оболочки однородную магнитную силу 𝑀. В этом случае магнитный потенциал оболочки представляется объёмной гармоникой первого порядка и имеет вид Ω=-𝑀𝑟 cos θ, где 𝑀 есть магнитная сила . Отсюда
𝐴
=
1
2
𝑎𝑀
и
φ
=
3
8π
𝑀𝑎
cos θ
.
Функция тока, таким образом, пропорциональна расстоянию от экваториальной плоскости сферы, и поэтому число витков провода между любыми двумя малыми кругами должно быть пропорционально расстоянию между плоскостями этих кругов.
