⎠
=
γω
(𝑥²+𝑦²)
-
⎛
⎜
⎝
𝑥
𝑑ψ
𝑑𝑦
+
𝑦
𝑑ψ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
.
(6)
Умножая (4) на 𝑦, а (5) на -𝑥 и затем складывая результаты, получаем
σ
⎛
⎜
⎝
𝑥
𝑑φ
𝑑𝑦
+
𝑦
𝑑φ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
=
𝑥
𝑑ψ
𝑑𝑦
-
𝑦
𝑑ψ
𝑑𝑥
.
(7)
Если выразить теперь эти уравнения через 𝑟 и θ, где
𝑥
=
𝑟cos θ
,
𝑦
=
𝑟sin θ
,
(9)
то они примут вид
σ
𝑑φ
𝑑θ
=
γω𝑟²
-
𝑟
𝑑ψ
𝑑𝑟
,
(9)
σ𝑟
𝑑φ
𝑑𝑟
=
𝑑ψ
𝑑θ
.
(10)
Уравнение (10) удовлетворяется, если мы возьмём произвольную функцию χ от 𝑟 и θ, положив
φ
=
𝑑χ
𝑑θ
,
(11)
ψ
=
σ𝑟
𝑑χ
𝑑𝑟
.
(12)
После подстановки этих выражений в уравнение (9) оно принимает вид
σ
⎛
⎜
⎝
𝑑²χ
𝑑θ²
+
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑑χ
𝑑𝑟
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
=
γω𝑟²
.
(13)
Разделив (13) на σ𝑟² и восстанавливая координаты 𝑥 и 𝑦, приходим к уравнению
𝑑²χ
𝑑𝑥²
+
𝑑²χ
𝑑𝑦²
=
ω
σ
γ
.
(14)
Это основополагающее уравнение теории: оно выражает связь между функцией χ и нормальной к диску составляющей магнитной силы γ.
Пусть 𝑄 - потенциал в какой-либо точке с положительной стороны диска, обусловленный воображаемой притягивающей материей, распределённой по диску с поверхностной плотностью χ.
На положительной стороне диска
𝑑𝑄
𝑑𝑧
=
-2πχ
.
(15)
Поэтому левая часть уравнения (14) преобразуется к виду
𝑑²χ
𝑑𝑥²
+
𝑑²χ
𝑑𝑦²
=-
1
2π
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑄
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑄
𝑑𝑦²
⎞
⎟
⎠
.
(16)
Но поскольку 𝑄 удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, внешних относительно диска, то
𝑑²𝑄
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑄
𝑑𝑦²
=
-
𝑑²𝑄
𝑑𝑧²
(17)
и уравнение (14) принимает вид
σ
2π
𝑑³𝑄
𝑑𝑧³
=
ωγ
.
(18)
Далее, поскольку 𝑄 есть потенциал, обусловленный распределением χ то потенциал, создаваемый распределением φ или 𝑑χ/𝑑θ будет равен 𝑑𝑄/𝑑θ. Отсюда для магнитного потенциала, обусловленного токами в диске, получаем
Ω
₁
=-
𝑑²𝑄
𝑑θ𝑑𝑧
(19)
а для нормальной к диску составляющей магнитной силы, создаваемой токами,
γ₁
=-
𝑑Ω
𝑑𝑧
=
𝑑³𝑄
𝑑θ𝑑𝑧²
.
(20)
Если обозначить через Ω₂ магнитный потенциал, обусловленный внешними магнитами, и записать
𝑃'
=-
∫
Ω
₂
𝑑𝑧
,
(21)
то создаваемая этими магнитами нормальная к диску составляющая магнитной силы будет равна
γ₂
=
𝑑²𝑃'
𝑑𝑧²
.
(22)
Помня, что γ=γ₁+γ₂ мы можем теперь переписать уравнение (18) в виде
σ
2π
𝑑³𝑄
𝑑𝑧³
-
ω
𝑑³𝑄
𝑑θ𝑑𝑧²
=
ω
𝑑²𝑃'
𝑑𝑧²
.
(23)
Дважды интегрируя по 𝑧 и вводя вместо σ/(2π) величину 𝑅, получаем
⎛
⎜
⎝
𝑅
𝑑
𝑑𝑧
-
ω
𝑑
𝑑θ
⎞
⎟
⎠
𝑄
=
ω𝑃'
.
(24)
Если выразить величины 𝑃 и 𝑄 через расстояние от оси диска 𝑟 и через две новые переменные ξ и ζ, такие, что
2ξ
=
𝑧
+
𝑅
ω
θ
,
2ζ
𝑧
-
𝑅
ω
θ
,
(25)
то уравнение (24) после интегрирования по ζ примет вид
𝑄
=
∫
ω
𝑅
𝑃'
𝑑ζ
.
(26)
669. Вид этого выражения показывает, что магнитное действие токов в диске эквивалентно магнитному действию дорожки изображений магнитной системы, имеющей форму спирали.
Если магнитная система состоит из одиночного магнитного полюса единичной мощности, то спираль будет навита на поверхность цилиндра, проходящую через этот полюс и имеющую общую ось с диском. Начало спирали совпадает с положением оптического изображения полюса в диске. Расстояние между последовательными витками, параллельное оси, будет равно 2π(𝑅/ω). Магнитное действие дорожки изображений оказывается таким же, как если бы спираль была всюду намагничена в тангенциальном направлении к цилиндру перпендикулярно его оси с интенсивностью, при которой магнитный момент любого маленького участка спирали численно равен длине его проекции на диск.
Вычислить воздействие на магнитный полюс довольно сложно, однако легко видеть, что оно состоит из: (1) увлекающей силы, параллельной направлению движения диска; (2) силы отталкивания от диска; (3) силы, направленной в сторону оси диска.
Когда полюс находится вблизи края диска, третья из этих сил может быть подавлена силой, направленной в сторону края диска, на что указывалось в п. 667.
Араго наблюдал все эти силы и описал их в Annales de Chimie за 1826 г. См. также работу Феличи (Felici) в журнале Тортолини (Tortolini’s Annals, IV, p. 173 (1853) и V, p. 35), а также работу Джокмана (Jochmann) в Crelle's Journal, XIII, p. 158 и 329 и Pogg. Ann., XXII, p. 214 (1864). В последней работе приведены уравнения, необходимые для отыскания самоиндукции токов, но эта часть воздействия при получении последующих результатов опущена. Описанный здесь метод изображений был опубликован в Proceedings of the Royal Society for Feb. 15, 1872.
