-
𝑑
𝑑𝑡
∞
∫
0
𝑑τ
𝑟
.
Если записать 𝑄²=𝔲²+(𝑅-𝔪)², то
∞
∫
0
𝑑τ
𝑟
=-
1
𝑄
log{
𝑄𝑟
+
𝔲(𝑥-𝔲𝑡)
+
(𝑅-𝔪)
(𝑧+𝑐+𝔪𝑡)
}
плюс бесконечно большой член, который, однако, пропадает при дифференцировании по времени; величина 𝑟 в этом выражении находится из приведённого выше выражения для 𝑟 при τ=0.
Дифференцируя это выражение по 𝑡 и полагая 𝑡=0, получаем магнитный потенциал, обусловленный дорожкой изображений,
𝑄
𝔪(𝑧+𝑐)-𝔲𝑥
-𝔲²-𝔪²+𝑅𝔪
Ω
=
1
𝑟
.
𝑄
𝑄𝑥+𝔲𝑥+(𝑅-𝔪)(𝑧+𝑐)
Дифференцируя это выражение по 𝑥 или 𝑧, мы находим составляющие (соответственно параллельные 𝑥 или 𝑧) магнитной силы в любой точке, а положив в этих выражениях 𝑥=0, 𝑧=𝑐 и 𝑟=2𝑐, мы получим следующие значения составляющих силы, действующей на сам движущийся полюс:
𝑋
=
-
1
4𝑐²
𝔲
𝑄+𝑅-𝔪
⎧
⎨
⎩
1
+
𝔪
𝑄
-
𝔲²
𝑄(𝑄+𝑅-𝔪)
⎫
⎬
⎭
,
𝑍
=
-
1
4𝑐²
⎧
⎨
⎩
𝔪
𝑄
-
𝔲²
𝑄(𝑄+𝑅-𝔪)
⎫
⎬
⎭
.
665. Пользуясь этими выражениями, мы должны помнить, что движение, предшествующее рассматриваемому моменту времени, предполагается по своей продолжительности бесконечно долгим. Поэтому не следует брать величину 𝔪 положительной, ибо в этом случае полюс за конечное время должен был бы пройти сквозь лист.
Если взять скорость 𝔪 отрицательной и положить 𝔲=0, то получим
𝑋
=
0
и
𝑍
=
1
4𝑐²
𝔪
𝑅+𝔪
т.е. полюс, приближаясь к листу, отталкивается от него.
Положив 𝔪=0, находим
𝑄²
=
𝔲²
+
𝑅²
,
𝑋
=
-
1
4𝑐²
⋅
𝔲𝑅
𝑄(𝑄+𝑅)
,
𝑍
=
1
4𝑐²
⋅
𝔲²
𝑄(𝑄+𝑅)
.
Составляющая 𝑋 представляет собой силу торможения, действующую на полюс в направлении, противоположном направлению его движения. При заданном значении 𝑅 сила 𝑋 максимальна, когда 𝔲=1,27 𝑅.
Для непроводящего листа 𝑅=∞ и 𝑋=0. Для идеально проводящего листа 𝑅=0 и 𝑋=0.
Составляющая 𝑍 представляет собой силу отталкивания полюса от листа. С ростом скорости она увеличивается и в пределе достигает значения 1/(4𝑐²), когда скорость становится бесконечной. Это же значение она принимает при 𝑅=0.
666. Когда магнитный полюс движется вдоль кривой, параллельной листу, вычисления становятся более сложными, но легко видеть, что ближайший участок дорожки изображений создаёт силу, действующую на полюс в направлении, противоположном направлению его движения. Действие участка дорожки, находящегося непосредственно позади ближайшего участка, аналогично действию магнита с осью, параллельной направлению движения полюса в предшествующий момент времени.
Поскольку ближайший полюс этого магнита одноимёнен с движущимся полюсом, то сила будет состоять частично из силы отталкивания, а частично из силы, параллельной прежнему направлению движения, но противоположной ему по знаку. Она может быть разложена на тормозящую силу и на силу в направлении вогнутой стороны того пути, по которому движется полюс.
667. Наше рассмотрение не предоставляет нам возможности решать задачу в случае, когда распределение токов не может быть полностью сформировано из-за наличия у проводящего листа разрывов или границ.
Легко видеть, однако, что если полюс двигается параллельно краю листа, то токи на прилегающей к этому краю части листа ослаблены. Следовательно, силы, обусловленные этими токами, будут меньше, и поэтому не только тормозящая сила будет меньше, но, поскольку сила отталкивания минимальна на участках листа, непосредственно прилегающих к его краю, полюс будет притягиваться к краю.
Теория вращающегося диска Араго
668. Араго открыл 2 , что на магнит, помещённый вблизи вращающегося металлического диска, действует сила, стремящаяся заставить его следовать за движением диска, хотя в случае, когда диск покоится, взаимодействие между ним и магнитом отсутствует. Это действие вращающегося диска сначала относили даже к некоему новому виду намагниченности, пока Фарадей 3 не объяснил его при помощи электрических токов, индуцируемых в диске при его движении в поле магнитной силы.
2Annales de Chimie et de Physique, Tome 32, p. 213-223, 1826.
3Exp. Res., 81.
Для того чтобы определить эти индуцированные токи, а также их воздействие на магнит, мы могли бы воспользоваться результатами, уже полученными нами для покоящегося проводящего листа, находящегося под действием движущегося магнита, и применить приведённый в п. 600 метод рассмотрения электромагнитных уравнений в движущейся системе осей координат. Однако, поскольку этот случай особо важен, мы прибегнем к прямому решению задачи, начав с предположения о том, что полюса магнита достаточно удалены от края диска и можно пренебречь влиянием ограниченности проводящего листа.
Используя те же обозначения, что и в предыдущих параграфах (п. 656-667), для составляющих электрической силы, параллельных соответственно осям 𝑥 и 𝑦, находим
σ𝑢
=
γ
𝑑𝑦
𝑑𝑡
-
𝑑ψ
𝑑𝑥
,
σ𝑣
=-
γ
𝑑𝑥
𝑑𝑡
-
𝑑ψ
𝑑𝑦
,
(1)
где γ есть составляющая магнитной силы, нормальная к диску.
Если выразить теперь 𝑢 и 𝑣 через функцию тока φ, то
𝑢
=
𝑑φ
𝑑𝑦
,
𝑢
=
-
𝑑φ
𝑑𝑥
,
(2)
и, если диск вращается с угловой скоростью ω вокруг оси 𝑧,
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
ω𝑥
,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
-ω𝑦
.
(3)
Подставляя эти величины в уравнения (1), находим
σ
𝑑φ
𝑑𝑦
=
γω𝑥
-
𝑑ψ
𝑑𝑥
,
(4)
-σ
𝑑φ
𝑑𝑦
=
γω𝑦
-
𝑑ψ
𝑑𝑦
.
(5)
Умножая (4) на 𝑥, а (5) на 𝑦, а затем складывая результаты, получаем
σ
⎛
⎜
⎝
𝑥
𝑑φ
𝑑𝑦
-
𝑦
𝑑φ
𝑑𝑥
⎞
⎟
