(2)

тогда

𝑑²𝑦

𝑑𝑡²

+

(ω²+𝑘²)

𝑦

=

0.

(3)

Решение этого уравнения:

𝑦

=

𝐶

cos (

√

ω²+𝑘²

𝑡

+

α

),

если

𝑖

меньше чем

ω

;

(4)

𝑦

=

𝐴

+

𝐵𝑡

,

если

𝑖

равно

ω

;

(5)

𝑦

=

𝐶'

cos ℎ(

√

𝑘²-ω²

𝑡'

+

α

),

если

𝑖

больше, чем

ω

.

(6)

Величину 𝑥 можно получить из 𝑦 при помощи уравнения (2). Когда 𝑘 меньше ω, движение состоит из бесконечной серии последовательности колебаний с постоянным периодом и непрерывно уменьшающейся амплитудой. С ростом 𝑘 период колебаний увеличивается, а уменьшение амплитуды становится более быстрым.

Когда величина 𝑘 (половина коэффициента сопротивления) становится равной или большей чем ω (корень квадратный из ускорения на единичном расстоянии от точки равновесия), движение перестаёт быть колебательным; за время всего движения тело может лишь один раз пройти точку равновесия, после чего оно достигает положения максимального отклонения, а затем начинает возвращаться к точке равновесия, непрерывно приближаясь к ней, но никогда её не достигая.

Гальванометры, в которых сопротивление столь велико, что в них происходит такого рода движение, называются апериодическими гальванометрами. Они полезны во многих экспериментах, но особенно при телеграфной связи, где существование свободных колебаний могло бы совершенно замаскировать те движения, которые предполагается обнаруживать.

Какими бы ни были значения 𝑘 и ω, величина 𝑎 (показание шкалы в точке равновесия) может быть выведена из пяти показаний шкалы 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡, взятых через равные промежутки времени по формуле

𝑎

=

𝑞(𝑟𝑠-𝑞𝑡)+𝑟(𝑝𝑡+𝑟²)+𝑠(𝑞𝑟-𝑝𝑠)

(𝑝-2𝑞+𝑟)(𝑟-2𝑠+𝑡)-(𝑞+2𝑟+𝑠)²

.

О наблюдениях с гальванометром

742. Для измерения постоянного тока с помощью тангенс-гальванометра прибор устанавливается таким образом, чтобы плоскость его катушек была параллельна магнитному меридиану, и снимается нулевое показание шкалы. После этого через катушки пропускается ток и наблюдается отклонение магнита, соответствующее его новому положению равновесия. Обозначим его через φ.

Тогда, если 𝐻 есть горизонтальная магнитная сила, 𝐺 - коэффициент гальванометра, а γ - сила тока, то

γ

=

𝐻

𝐺

tg φ

.

(1)

Если коэффициент кручения нити подвеса равен τ𝑀𝐻 (см. п. 452). то мы должны пользоваться уточнённой формулой

γ

=

𝐻

𝐺

(tg φ + τφsec φ)

.

(2)

Наилучшее значение величины отклонения

743. В некоторых гальванометрах можно по желанию менять число витков в катушке, по которым протекает ток. В других гальванометрах заданную часть тока можно отвести от гальванометра с помощью проводника, называемого шунтом. В любом из этих случаев меняется величина 𝐺, представляющая собой действие единичного тока на магнит.

Определим значение 𝐺, для которого заданная ошибка наблюдаемого отклонения соответствует наименьшей ошибке вычисленного значения силы тока.

Дифференцируя уравнение (1), находим

𝑑γ

𝑑φ

=

𝐻

𝐺

sec²φ

.

(3)

Исключая 𝐺,

𝑑φ

𝑑γ

=

1

2γ

sin 2φ

.

(4)

Это выражение имеет максимум при заданном значении γ, когда отклонение равно 45°. Поэтому величину 𝐺 следовало бы регулировать до тех пор, пока произведение 𝐺γ не станет как можно более близким к 𝐻, т.е. для сильных токов лучше не пользоваться слишком чувствительным гальванометром.

О наилучшем способе подключения тока

744. Если наблюдатель может в любой момент времени замыкать и размыкать цепь при помощи ключа, то целесообразно работать ключом таким образом, чтобы магнит подходил к положению равновесия с наименьшей возможной скоростью. Для этой цели Гаусс рекомендовал следующий метод.

Предположим, что магнит находится в положении равновесия и ток отсутствует. Наблюдатель замыкает цепь на короткий промежуток времени, так что магнит приходит в движение в направлении нового положения равновесия. Затем наблюдатель прерывает контакт. Теперь сила направлена к первоначальному положению равновесия, и движение становится замедленным. Если сделать так, что магнит остановится точно в новом положении равновесия, и в этот момент замкнуть цепь, сохраняя контакт и далее, то магнит будет оставаться в покое в новом положении равновесия.

Пренебрежём влиянием сопротивления, а также различием между значениями полной силы в старом и новом положениях. Поскольку мы хотим, чтобы новая сила за время своего первого воздействия создала ровно столько кинетической энергии, сколько уничтожается первоначальной силой, когда контур разомкнут, то мы должны продолжать первое действие тока до тех пор, пока магнит не пройдёт половину пути от первого положения равновесия до второго. Тогда, если на второй половине пути на магнит действует первоначальная сила, она в точности остановит его. Время, необходимое для прохождения от точки максимального отклонения до точки, находящейся на полпути к положению равновесия, составляет одну треть времени прохождения от состояния покоя до состояния покоя.

Поэтому оператор, предварительно установив время одного колебания от состояния покоя до состояния покоя, замыкает контакт на одну треть этого интервала времени, потом размыкает его снова на треть того же интервала и затем снова замыкает цепь уже до конца всего опыта. Магнит после этого либо будет находиться в состоянии покоя, либо будет совершать настолько малые колебания, что можно сразу же проводить наблюдения, не дожидаясь прекращения этих движений. Для подобных опытов можно использовать метроном, отрегулировав его таким образом, чтобы за время каждого колебания магнита он отстукивал трижды. Это правило несколько усложняется, когда величина сопротивления оказывается такой, что его следует принимать во внимание; однако в этом случае колебания затухают настолько быстро, что нет необходимости принимать какие-либо поправки к этому правилу.

Когда необходимо возвратить магнит в первоначальное положение, контур размыкается на одну треть времени одного колебания, затем замыкается на то же самое время и затем окончательно размыкается. Это приводит магнит в состояние покоя в его первоначальном положении.

Если необходимо снять показания при обратном включении сразу же после снятия прямых показаний, то контур размыкается на время одного колебания, а затем гальванометр включается в обратном направлении. Это приводит магнит в состояние покоя при обратном направлении тока.

Измерение при первом колебании

745. Когда нет времени сделать более чем одно наблюдение, ток можно измерить по максимальному отклонению при первом колебании магнита. Если сопротивление отсутствует, то постоянное отклонение φ равно половине максимального отклонения. Если же сопротивление таково, что отношение амплитуд соседних колебаний равно ρ, то отклонение φ, соответствующее точке равновесия, есть