Первый член этого выражения равен, очевидно, -𝑑𝑉/𝑑ξ или составляющей магнитной силы α.
Величина же, стоящая под знаком интеграла во втором члене, равна нулю для любого элемента объёма, кроме того, в котором находится точка (ξ,η,ζ). Легко показать, что второй член равен 4π(𝐴), где (𝐴) - значение 𝐴 в точке (ξ,η,ζ); во всех точках вне магнита величина (𝐴) равна нулю.
Теперь можно 𝑥-составляющую магнитной индукции записать в виде
𝑎
=
α
+
4π(𝐴)
,
(25)
что равнозначно первому из уравнений, приведённых в п. 400; уравнения для 𝑏 и 𝑐 также совпадают с соответствующими уравнениями п. 400.
Как мы уже видели, магнитная сила вычисляется через скалярный потенциал 𝑉 путём применения к нему оператора Гамильтона ∇; следуя п. 17, можно записать
ℌ
=-
∇𝑉
,
(26)
это уравнение справедливо как вне, так и внутри магнита.
Из проведённых сейчас исследований явствует, что магнитная индукция вычисляется через вектор-потенциал 𝔄 путём применения к нему того же самого оператора; и этот результат справедлив внутри магнита так же, как вне его.
Применение этого оператора к векторной функции может дать в общем случае и скалярную и векторную величину. Однако скалярная часть, названная нами конвергенцией векторной функции, исчезает, если векторная функция удовлетворяет условию соленоидальности
𝑑𝐹
𝑑ξ
+
𝑑𝐺
𝑑η
+
𝑑𝐻
𝑑ζ
=
0.
(27)
Дифференцируя выражения (22) для 𝐹, 𝐺, 𝐻, убеждаемся, что эти величины удовлетворяют условию соленоидальности.
Таким образом, мы можем записать между магнитной индукцией и её вектор-потенциалом:
𝔅
=
∇𝔄
,
которую можно выразить такими словами: магнитная индукция является вихрем (ротором) своего вектор-потенциала, см. п. 25.
ГЛАВА III
МАГНИТНЫЕ СОЛЕНОИДЫ И МАГНИТНЫЕ ОБОЛОЧКИ1
1 См. работу сэра У. Томсона «Математическая теория магнетизма» (W. Thomson «Mathematical Theory of Magnetism»). См. Phil. Trans., June 1849 and June 1850 или Reprint of Papers on Electrostatics and Magnetism, p. 340.
О частных формах магнитов
407. Если длинная тонкая нить из магнитной материи, напоминающая проволоку, всюду является намагниченной в продольном направлении, то произведение любого её поперечного сечения на интенсивность намагниченности, среднюю по этому сечению, называется мощностью магнита в этом сечении. Если бы нить оказалась разрезанной на две части без изменения её намагниченности, то на двух поверхностях разреза после их разделения обнаружилось бы наличие равных и противоположных величин поверхностной намагниченности, численно совпадающих с мощностью магнита в данном сечении.
Нить магнитной материи, намагниченная таким образом, что её мощность в любом произвольно по длине нити проведённом сечении одинакова, называется Магнитным Соленоидом.
Если 𝑚 - мощность соленоида, 𝑑𝑠 - элемент его длины, причём 𝑠 отсчитывается от отрицательного полюса магнита к положительному, 𝑟 - расстояние от данной точки до этого элемента, ε - угол, который образует 𝑟 с осью намагниченности элемента, то потенциал, обусловленный элементом магнита в данной точке, равен
𝑚 𝑑𝑠 cos ε
𝑟²
=
𝑚
𝑟²
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠
.
Чтобы учесть все элементы соленоида, проинтегрируем это выражение по 𝑠; потенциал будет равен
𝑉
=
𝑚
⎛
⎜
⎝
1
𝑟1
-
1
𝑟2
⎞
⎟
⎠
,
где 𝑟1 и 𝑟2 - расстояния от положительного и отрицательного концов соленоида до точки, где измеряется 𝑉.
Таким образом, обусловленный соленоидом потенциал и, следовательно, все связанные с ним магнитные эффекты зависят только от его мощности и положения концов соленоида и совсем не зависят от формы соленоида между конечными точками, т.е. от того, является ли он прямым или изогнутым.
Поэтому концы соленоида можно назвать его полюсами в строгом смысле этого слова.
Если соленоид образует замкнутую кривую, то обусловленный им потенциал равен нулю в любой точке; такой соленоид не проявляет никакого магнитного действия, и его намагниченность нельзя обнаружить без разламывания его в какой-либо точке и разнесения концов.
Если магнит можно разделить на отдельные соленоиды, каждый из которых либо образует замкнутую кривую, либо выходит своими концами на внешнюю поверхность магнита, то про его намагниченность говорят, что она является соленоидальной; поскольку действие магнита целиком определяется концами соленоидов, распределение воображаемой магнитной материи будет чисто поверхностным.
Следовательно, условие соленоидальности намагниченности будет таким:
𝑑𝐴
𝑑𝑥
+
𝑑𝐵
𝑑𝑦
+
𝑑𝐶
𝑑𝑧
=
0,
где 𝐴, 𝐵, 𝐶 - составляющие намагниченности в произвольной точке магнита.
408. Продольно намагниченную нить, мощность которой различна на разных участках её длины, можно считать изготовленной из пучка соленоидов различной длины; при этом сумма мощностей всех соленоидов, проходящих через данное сечение нити, является магнитной мощностью нити в этом сечении. Поэтому любую продольно намагниченную нить можно назвать Сложным Соленоидом.
Если мощность сложного соленоида в произвольном сечении равна 𝑚, то потенциал, обусловленный его действием, равен
𝑉
=
-
∫
𝑚
𝑟²
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠
,
где
𝑚
-переменная величина,
=
𝑚1
𝑟1
-
𝑚2
𝑟2
-
∫
1
𝑟
𝑑𝑚
𝑑𝑠
𝑑𝑠
.
Отсюда видно, что кроме действия двух концов, которые в этом случае могут иметь разные мощности, появляется ещё и действие, связанное с распределением воображаемой магнитной материи вдоль нити с линейной плотностью:
λ
=
𝑑𝑚
𝑑𝑠
.
Магнитные оболочки
409. Если тонкая оболочка магнитного вещества намагничена повсюду в направлении, нормальном к её поверхности, то произведение интенсивности намагниченности в произвольном месте на толщину плёнки в том же месте называется Мощностью магнитной оболочки в этом месте.
Если мощность оболочки повсюду одинакова, то она называется Простой магнитной оболочкой; если же мощность меняется от точки к точке, то такую оболочку можно считать составленной из нескольких наложенных друг на друга перекрывающихся простых оболочек. Поэтому она называется Сложной магнитной оболочкой.
Пусть 𝑑𝑆 является элементом поверхности оболочки мощности Φ, находящимся в точке 𝑄; тогда потенциал в произвольной точке 𝑃, обусловленный этим элементом, равен
𝑑𝑉
=
Φ
1
𝑟²
𝑑𝑆
cos ε
