2 Exp. Res., series XXVIII.
Вне магнита магнитная сила и магнитная индукция совпадают, однако внутри вещества магнита их следует тщательно различать.
В случае прямого однородно намагниченного стержня магнитная сила, создаваемая самим магнитом, направлена от конца, указывающего на север (мы называем его положительным полюсом), к южному концу (отрицательному полюсу) как внутри магнита, так и вне его.
С другой стороны, магнитная индукция вне магнита тоже направлена от положительного полюса к отрицательному, но внутри магнита - от отрицательного полюса к положительному, так что линии и трубки индукции образуют сами в себя входящие, или замкнутые, кривые.
Важность магнитной индукции как физического понятия будет видна более отчётливо при изучении электромагнитных явлений. Когда магнитное поле создаётся движущимся проводом, как в опытах Фарадея (Exp. Res. 3076), непосредственно измеряемой величиной является именно магнитная индукция, а не магнитная сила.
Вектор-потенциал магнитной индукции
405. Как показано в п. 403, поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит от этой кривой, но не зависит от формы ограничиваемой ею поверхности; поэтому должен существовать способ определения потока индукции внутри замкнутой кривой с помощью процедуры, зависящей только от характера кривой и не включающей конструкцию поверхности, которая диафрагмирует эту кривую.
Это можно сделать, отыскав вектор 𝔄, связанный с магнитной индукцией 𝔅 таким образом, чтобы линейный интеграл от 𝔄 по замкнутой кривой был равен поверхностному интегралу от по поверхности, ограниченной этой кривой.
Обозначив, как и в п. 24, через 𝐹, 𝐺, 𝐻 составляющие 𝔄, через 𝑎, 𝑏, 𝑐 составляющие 𝔅, получим между ними следующую связь:
𝑎
=
𝑑𝐻
𝑑𝑦
-
𝑑𝐺
𝑑𝑧
,
𝑏
=
𝑑𝐹
𝑑𝑧
-
𝑑𝐻
𝑑𝑥
,
𝑐
=
𝑑𝐺
𝑑𝑥
-
𝑑𝐹
𝑑𝑦
.
(21)
Вектор 𝔄 с составляющими 𝐹, 𝐺, 𝐻 называется вектор-потенциалом магнитной индукции.
Поместим в начало координат магнитную молекулу с моментом 𝑚 и направлением оси намагниченности (λ,μ,ν). Согласно п. 387, её потенциал в точке (𝑥,𝑦,𝑧), на расстоянии 𝑟 от начала координат будет равен
-𝑚
⎛
⎜
⎝
λ
𝑑
𝑑𝑥
+
μ
𝑑
𝑑𝑦
+
𝑑
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
1
𝑟
;
𝑐
=
𝑚
⎛
⎜
⎝
λ
𝑑²
𝑑𝑥𝑑𝑧
+
μ
𝑑²
𝑑𝑦𝑑𝑧
+
ν
𝑑²
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
1
𝑟
.
С помощью уравнения Лапласа последнему выражению можно придать вид
𝑚
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
λ
𝑑
𝑑𝑧
-
ν
𝑑
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
1
𝑟
-
𝑚
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
ν
𝑑
𝑑𝑦
-
μ
𝑑
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
1
𝑟
.
Аналогично можно преобразовать величины 𝑎, 𝑏.
Следовательно,
𝐹
=
𝑚
⎛
⎜
⎝
ν
𝑑
𝑑𝑦
-
μ
𝑑
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
1
𝑟
=
𝑚(μ𝑧-ν𝑦)
𝑟³
.
Составляющие 𝐺, 𝐻 можно получить из этого выражения, руководствуясь симметрией. Таким образом, вектор-потенциал в данной точке, создаваемый намагниченной частицей, помещённой в начало координат, численно равен магнитному моменту этой частицы, делённому на квадрат радиус-вектора и умноженному на синус угла между осью намагниченности и радиус-вектором; направление вектор-потенциала перпендикулярно плоскости оси намагниченности и радиус-вектора, причём если смотреть в положительном направлении оси намагниченности, то вектор-потенциал указывает в направлении движения часовой стрелки.
Следовательно, для магнита произвольной формы с составляющими намагниченности 𝐴, 𝐵, 𝐶 в точке (𝑥,𝑦,𝑧) составляющие вектор-потенциала в точке (ξ,η,ζ) равны
𝐹
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝐵
𝑑𝑝
𝑑𝑧
-
𝐶
𝑑𝑝
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝐺
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝐶
𝑑𝑝
𝑑𝑥
-
𝐴
𝑑𝑝
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝐻
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝐴
𝑑𝑝
𝑑𝑦
-
𝐴
𝑑𝑝
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(22)
где через 𝑝 для краткости обозначено обратное расстояние между точками (ξ,η,ζ) и (𝑥,𝑦,𝑧), а интегрирование распространяется на весь объём, занятый магнитом.
406. Скалярный, или обычный, потенциал магнитной силы, введённый в п. 385, в этих обозначениях принимает вид
𝑉
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝐴
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+
𝐵
𝑑𝑝
𝑑𝑦
+
𝐶
𝑑𝑝
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(23)
Помня, что
𝑑𝑝
𝑑𝑥
= -
𝑑𝑝
𝑑ξ
и что интеграл
∭
𝐴
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑝
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑝
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑝
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
равен -4π(𝐴), когда точка (ξ,η,ζ), находится внутри объёма интегрирования, и нулю, когда она вне его, где (𝐴) - значение 𝐴 в точке (ξ,η,ζ), получаем для 𝑥-составляющей магнитной индукции
α
=
𝑑𝐻
𝑑η
-
𝑑𝐺
𝑑ζ
=
=
∭
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝐴
𝑑²𝑝
𝑑𝑦𝑑η
+
𝑑²𝑝
𝑑𝑧𝑑ζ
⎞
⎟
⎠
-
𝐵
𝑑²𝑝
𝑑𝑥𝑑η
-
𝐶
𝑑²𝑝
𝑑𝑥𝑑ζ
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
=-
𝑑
𝑑ξ
∭
⎧
⎨
⎩
𝐴
𝑑𝑝
𝑑𝑥
+
𝐵
𝑑𝑝
𝑑𝑦
+
𝐶
𝑑𝑝
𝑑𝑧
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
-
-
∭
𝐴
⎛
⎜
⎝
𝑑²𝑝
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑝
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑝
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(24)
