𝔅
=
ℌ
+
4π𝔍
.
(7)
Криволинейный интеграл от магнитной силы
401. Поскольку магнитная сила, определённая в п. 398, обусловлена свободным магнетизмом, распределённым как на поверхности магнита, так и внутреннего, и не зависит от поверхностного магнетизма полости, её можно вычислить непосредственно из общего выражения для потенциала магнита; криволинейный интеграл от магнитной силы, взятый вдоль произвольной кривой между точками 𝐴 и 𝐵, равен
𝐵
∫
𝐴
⎛
⎜
⎝
α
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
β
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
γ
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
=
𝑉
𝐴
-𝑉
𝐵
,
(8)
где через 𝑉𝐴 и 𝑉𝐵 обозначены потенциалы в точках 𝐴 и 𝐵 соответственно.
Поверхностный интеграл от магнитной индукции
402. Поток магнитной индукции через поверхность S определяется как величина интеграла
𝑄
=
∬
𝔅
cos ε
𝑑𝑆
,
(9)
где 𝔅 - величина магнитной индукции на элементе поверхности 𝑑𝑆, ε - угол между направлением индукции и нормалью к элементу поверхности; интегрирование распространяется на всю поверхность, которая может быть либо замкнутой поверхностью, либо поверхностью, ограниченной некоторой замкнутой кривой.
Если обозначить составляющие магнитной индукции через 𝑎, 𝑏, 𝑐 и направляющие косинусы нормали через 𝑙, 𝑚, 𝑛, то поверхностный интеграл может быть записан в виде
𝑄
=
∬
(
𝑙𝑎
+
𝑚𝑏
+
𝑛𝑐
)
𝑑𝑆
.
(10)
Выражая составляющие магнитной индукции через составляющие намагниченности и магнитной силы, как в п. 400, получим
𝑄
=
∬
(
𝑙α
+
𝑚β
+
𝑛γ
)
𝑑𝑆
+
4π
∬
(
𝑙𝐴
+
𝑚𝐵
+
𝑛𝐶
)
𝑑𝑆
.
(11)
Предположим теперь, что поверхность, по которой производится интегрирование, замкнута, и исследуем значения величин двух членов в правой части этого уравнения.
Математическая форма связи между магнитной силой и свободным магнетизмом такая же, как между электрической силой и свободным электричеством, поэтому мы можем применить результаты п. 77 к первому члену выражения для 𝑄, заменив составляющие электрической силы 𝑋, 𝑌, 𝑍 в п. 77 на составляющие магнитной силы α, β, γ, а алгебраическую сумму свободного электричества 𝑒 на алгебраическую сумму свободного магнетизма 𝑀.
Таким образом, получаем уравнение
∬
(
𝑙α
+
𝑚β
+
𝑛γ
)
𝑑𝑆
=
4π𝑀
.
(12)
Так как каждая магнитная частица имеет два полюса одинаковой величины и противоположных знаков, алгебраическая сумма магнетизма частицы равна нулю. Поэтому частицы, которые целиком находятся внутри замкнутой поверхности 𝑆, не могут дать вклада в алгебраическую сумму магнетизма внутри 𝑆, т.е. величина 𝑀 должна зависеть только от магнитных частиц, которые рассечены поверхностью 𝑆.
Рассмотрим маленький элемент магнита длиной 𝑠 с поперечным сечением 𝑘², намагниченный в направлении его длины так, что мощность его полюсов равна 𝑚 Момент этого небольшого магнита равен 𝑚𝑠, а намагниченность, равная от ношению магнитного момента к объёму,
𝐼
=
𝑚
𝑘²
(13)
Пусть этот маленький магнит так рассечён поверхностью 𝑆, что направление намагниченности образует с наружной нормалью к поверхности угол ε', тогда, если обозначить через 𝑑𝑆 площадь сечения,
𝑘²
=
𝑑𝑆
cos ε'
.
(14)
Отрицательный полюс этого магнита -𝑚 находится внутри поверхности 𝑆.
Следовательно, если обозначить через 𝑑𝑀 вклад этого маленького магнита в ту часть свободного магнетизма, которая находится внутри 𝑆, то
𝑑𝑀
=
-𝑚
=
-𝐼𝑘²
=
-𝐼
cos ε'
𝑑𝑆
.
(15)
Для того чтобы найти алгебраическую сумму свободного магнетизма 𝑀 внутри замкнутой поверхности 𝑆, необходимо проинтегрировать это выражение по замкнутой поверхности 𝑆:
𝑀
=-
∬
𝐼
cos ε'
𝑑𝑆
,
или через составляющие намагниченности 𝐴, 𝐵, 𝐶 и направляющие косинусы наружной нормали 𝑙, 𝑚, 𝑛:
𝑀
=-
∬
(
𝑙𝐴
+
𝑚𝐵
+
𝑛𝐶
)
𝑑𝑆
.
(16)
Это даёт значение интеграла во втором члене правой части уравнения (11). Величину 𝑄 в (11) можно, таким образом, найти, используя уравнения (12) и (16):
𝑄
=
4π𝑀
-
4π𝑀
=
0,
(17)
или интеграл от магнитной индукции, взятый по произвольной замкнутой поверхности, равен нулю.
403. Если предположить, что замкнутая поверхность есть поверхность дифференциального элемента объёма 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, мы получим уравнение
𝑑𝑎
𝑑𝑥
+
𝑑𝑏
𝑑𝑦
+
𝑑𝑐
𝑑𝑧
=
0.
(18)
Это есть условие соленоидальности, которому всегда удовлетворяют составляющие магнитной индукции.
Так как распределение магнитной индукции соленоидально, то поток индукции через любую поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит только от формы и положения этой замкнутой кривой и не зависит от формы и положения самой поверхности.
404. Поверхности, во всех точках которых
𝑙𝑎
+
𝑚𝑏
+
𝑛𝑐
=
0,
(19)
называются поверхностями с нулевым потоком индукции, а пересечение двух этих поверхностей называется линией индукции. Условия, при которых некоторая кривая 𝑠 может быть линией индукции, таковы:
1
𝑎
𝑑𝑥
𝑑𝑠
=
1
𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑠
=
1
𝑐
𝑑𝑧
𝑑𝑠
(20)
Совокупность линий индукции, проведённых через каждую точку замкнутой кривой, образует трубчатую поверхность, называемую трубкой индукции.
Поток индукции через любое сечение такой трубки одинаков. Если поток индукции в трубке равен единице, она называется единичной трубкой индукции.
Всё, что Фарадей2 говорит о магнитных силовых линиях и магнитных «спондилоидах» (sphondiloids), математически верно, если под ними понимать линии и трубки магнитной индукции.
