(1+4πϰ)
{
𝑖𝐴
2
𝑎
2𝑖+1
1
-
(𝑖+1)𝐵
2
}-
𝑖𝐴
1
𝑎
2𝑖+1
1
+
4πϰ
𝑖𝐶
𝑖
𝑎
2𝑖+1
1
=
0,
(6)
(1+4πϰ)
{
𝑖𝐴
2
𝑎
2𝑖+1
2
-
(𝑖+1)𝐵
2
}+
(𝑖+1)𝐵
3
+
4πϰ
𝑖𝐶
𝑖
𝑎
2𝑖+1
2
=
0;
(7)
из которых, обозначив
𝑁
𝑖
=
1
,
(1+4πϰ)(2𝑖+1)²
+
(4πϰ)²
𝑖(𝑖+1)
⎛
⎜
⎝
1
-
⎧
⎪
⎩
𝑎
1
⎫2𝑖+1
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑎
2
(8)
находим
𝐴
1
=-
(4πϰ)²
𝑖(𝑖+1)
⎛
⎜
⎝
1
-
⎧
⎪
⎩
𝑎1
𝑎2
⎫2𝑖+1
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑁
𝑖
𝐶
𝑖
,
(9)
𝐴
2
=-
4πϰ𝑖
⎡
⎢
⎣
2𝑖
+
1
+
4πϰ
(𝑖+1)
⎛
⎜
⎝
1
-
⎧
⎪
⎩
𝑎1
𝑎2
⎫2𝑖+1
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑁
𝑖
𝐶
𝑖
,
(10)
𝐵
2
=
4πϰ
𝑖(2𝑖+1)
𝑎
2𝑖+1
1
𝑁
𝑖
𝐶
𝑖
,
(11)
𝐵
3
=
4πϰ
𝑖{2𝑖+1+4πϰ(𝑖+1)}
(
𝑎
2𝑖+1
2
-
𝑎
2𝑖+1
1
)
𝑁
𝑖
𝐶
𝑖
.
(12)
Эти величины при подстановке в ряды по гармоникам дают ту часть потенциала, которая обусловлена намагниченностью оболочки. Величина 𝑁𝑖 всегда положительна, так как множитель (1+4πϰ) никогда не может быть отрицательным. Следовательно, 𝐴1 всегда принимает отрицательные значения, или, другими словами, действие намагниченной оболочки в точке внутри неё всегда противоположно действию внешней магнитной силы, независимо от того, является ли оболочка парамагнитной или диамагнитной. Истинное значение результирующего потенциала внутри оболочки равно (𝐶𝑖+𝐴1)𝑆𝑖𝑟𝑖 или
(1+4πϰ)
(2𝑖+1)²
𝑁
𝑖
𝐶
𝑖
𝑆
𝑖
𝑟
𝑖
.
(13)
432. Если ϰ является большим числом, как в случае мягкого железа, то для не слишком тонкой оболочки магнитная сила внутри неё составляет малую долю внешней силы.
Именно таким способом сэр У. Томсон, поместив свой морской гальванометр в трубу из мягкого железа, сделал его независящим от внешней магнитной силы.
433. Наибольшую практическую ценность представляет случай 𝑖=1, для которого имеем
𝑁
𝑖
=
1
,
9(1+4πϰ)
+
2(4πϰ)²
⎛
⎜
⎝
1-
⎧
⎪
⎩
𝑎
1
⎫³
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑎
2
(14)
𝐴
1
=
-2(4πϰ)²
⎛
⎜
⎝
1-
⎧
⎪
⎩
𝑎1
𝑎2
⎫³
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑁
1
𝐶
1
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
𝐴
2
=
-
4πϰ
⎡
⎢
⎣
3+8πϰ
⎛
⎜
⎝
1-
⎧
⎪
⎩
𝑎1
𝑎2
⎫³
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑁
1
𝐶
1
,
𝐵
2
=
12πϰ
𝑎
1
³
𝑁
1
𝐶
1
,
𝐵
2
=
-
4πϰ
(3+8πϰ)
(
𝑎
2
³
-
𝑎
1
³
)
𝑁
1
𝐶
1
.
(15)
В этом случае магнитная сила внутри полой оболочки является однородной, а её величина равна
𝐶
1
+𝐴
1
=
9(1+4πϰ)
𝐶
1
.
9(1+4πϰ)
+
2(4πϰ)²
⎛
⎜
⎝
1-
⎧
⎪
⎩
𝑎
1
⎫³
⎪
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑎
2
(16)
Если мы хотим определить ϰ путём сравнения магнитной силы, измеренной внутри полой оболочки, с внешней магнитной силой, то наилучшее значение толщины оболочки можно найти из уравнения
1
-
𝑎1³
𝑎2³
=
9
2
1+4πϰ
2(4πϰ)²
.
(17)
Магнитная сила внутри оболочки при этом составляет половину значения магнитной силы вне оболочки.
Поскольку для железа значения ϰ лежат между 20 и 30, то толщина оболочки должна составлять около двух сотых долей её радиуса. Этот метод применим только при больших значениях ϰ. Если же они очень малы, то и величина 𝐴1 становится неощутимо малой, так как она пропорциональна квадрату ϰ.
Для случая почти сплошной сферы с очень маленькой сферической полостью
𝐴
1
=
-
2(4πϰ)²
