(3+4πϰ)(3+8πϰ)
𝐶
1
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
𝐴
2
=
-
4πϰ
3+4πϰ
𝐶
1
,
𝐵
3
=
-
4πϰ
3+4πϰ
𝐶
1
𝑎
2
³
.
(18)
Это исследование можно было полностью провести, непосредственно исходя из решения задачи о протекании тока через сферическую оболочку, рассмотренную в п. 312. Для этого в приведённых там выражениях следует положить 𝑘1=(1+4πϰ)𝑘2 и учесть, что величины 𝐴1 и 𝐴2 в задаче о протекании тока эквивалентны величинам 𝐶1+𝐴1 и 𝐶1+𝐴2 в задаче о магнитной индукции.
434. Соответствующее двумерное решение представлено графически на рис. XV в конце этого тома. Там показано, как линии индукции, почти горизонтальные вдали от центра, искажаются поперечно намагниченным цилиндрическим стержнем, помещённым в положение устойчивого равновесия. Линии, пересекающие это семейство под прямыми углами, изображают эквипотенциальные поверхности, одна из которых является цилиндром. Большой пунктирный круг соответствует сечению цилиндра из парамагнитного вещества, а пунктирные горизонтальные линии внутри него изображают линии индукции в веществе, непрерывно переходящие во внешние линии индукции. Вертикальные пунктирные линии представляют собой внутренние эквипотенциальные поверхности, неразрывно связанные с внешней системой эквипотенциалей.
Следует отметить, что линии индукции сгущаются внутри вещества, а эквипотенциальные поверхности раздвигаются парамагнитным цилиндром, который, выражаясь языком Фарадея, проводит линии индукции лучше, чем окружающее вещество.
Если считать систему вертикальных линий линиями индукции, а горизонтальную систему - эквипотенциальными поверхностями, то получится, во-первых, случай поперечно намагниченного цилиндра, помещённого в неустойчивое равновесие среди раздвинутых им силовых линий; во-вторых, если считать, что большой пунктирный круг соответствует сечению диамагнитного цилиндра, пунктирные линии внутри него вместе с внешними линиями будут представлять действие диамагнитного вещества, состоящее в разрежении линий индукции и сближении эквипотенциальных поверхностей, ибо такое вещество является худшим проводником магнитной индукции, чем окружающая среда.
Случай сферы с коэффициентами намагниченности, различными в разных направлениях
435. Пусть α, β, γ - составляющие магнитной силы, а 𝐴, 𝐵, 𝐶 - составляющие намагниченности в произвольной точке, тогда наиболее общее линейное соотношение между этими величинами даётся уравнениями
𝐴
=
𝑟
1
α
+
𝑝
3
β
+
𝑞
2
γ
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝐵
=
𝑞
3
α
+
𝑟
2
β
+
𝑝
1
γ
,
𝐶
=
𝑝
2
α
+
𝑞
1
β
+
𝑟
2
γ
,
(1)
где 𝑝, 𝑞, 𝑟 - девять коэффициентов намагниченности.
Предположим теперь, что условия намагниченности внутри сферы радиуса α именно таковы и что намагниченность в каждой точке вещества однородна и одинаково направлена, а её составляющие равны 𝐴, 𝐵, 𝐶.
Предположим также, что внешняя намагничивающая сила также однородна и параллельна какому-нибудь направлению и имеет составляющие 𝑋, 𝑌, 𝑍.
Тогда значение 𝑉 будет равно
𝑉
=
-(
𝑋𝑥
+
𝑌𝑦
+
𝑍𝑧
),
(2)
а для значения потенциала Ω' вне сферы намагниченности, согласно п. 391, получим
Ω
'
=
4π
3
𝑎³
𝑟³
(
𝐴𝑥
+
𝐵𝑦
+
𝐶𝑧
).
(3)
Значение потенциала Ω внутри сферы намагниченности равно
Ω
=
4π
3
(
𝐴𝑥
+
𝐵𝑦
+
𝐶𝑧
).
(4)
Истинный потенциал внутри сферы равен 𝑉+Ω, т.е. для составляющих магнитной силы внутри сферы имеем
α
=
𝑋
-
4
3
π𝐴
,
β
=
𝑌
-
4
3
π𝐵
,
γ
=
𝑍
-
4
3
π𝐶
.
(5)
Следовательно,
⎛
⎜
⎝
1+
4
3
π𝑟
1
⎞
⎟
⎠
𝐴+
4
3
π𝑝
3
𝐵+
4
3
π𝑞
2
𝐶
=
𝑟
1
𝑋
+
𝑝
3
𝑌
+
𝑞
2
𝑍
,
4
3
π𝑞
3
𝐴+
⎛
⎜
⎝
1+
4
3
π𝑟
2
⎞
⎟
⎠
𝐵+
4
3
π𝑝
1
𝐶
=
𝑞
3
𝑋
+
𝑟
2
𝑌
+
𝑝
1
𝑍
,
4
3
π𝑝
2
𝐴+
4
3
π𝑞
1
𝐵+
⎛
⎜
⎝
1+
4
3
π𝑟
3
⎞
⎟
⎠
𝐶
=
𝑝
2
𝑋
+
𝑞
1
𝑌
+
𝑟
3
𝑍
.
(6)
Решая эти уравнения, находим
𝐴
=
𝑟
1
'𝑋
+
𝑝
3
'𝑌
+
𝑞
2
'𝑍
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝐵
=
𝑞
3
'𝑋
+
𝑟
2
'𝑌
+
𝑝
1
'𝑍
,
𝐶
=
𝑝
2
'𝑋
+
𝑞
1
'𝑌
+
𝑟
3
'𝑍
,
(7)
где
𝐷'𝑟
1
'
=
𝑟
1
+
4
3
π(
𝑟
3
𝑟
1
-
