Дифференцируя уравнение (2) по 𝑎 и уравнение (3) по 𝑏, получаем
𝑑²𝑀
𝑑𝑎²
=-
2π
∫
0
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑θ
-
2π
∫
0
𝑎
𝑑²𝑉
𝑑𝑟𝑑𝑦
𝑑θ
,
(4)
𝑑²𝑀
𝑑𝑏²
=
2π
∫
0
𝑎
𝑑²𝑉
𝑑𝑟𝑑𝑦
𝑑θ
.
(5)
Следовательно,
𝑑²𝑀
𝑑𝑎²
+
𝑑²𝑀
𝑑𝑏²
=
-
2π
∫
0
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑θ
=
1
𝑎
𝑑𝑀
𝑑𝑎
,
согласно (2).
(6)
Перенося последний член в левую часть, мы получаем уравнение (1).
Коэффициент индукции двух параллельных окружностей в случае, когда расстояние между их дугами мало по сравнению с радиусами обеих окружностей
704. Для этого случая мы могли бы получить величину 𝑀 из разложения приведённых выше эллиптических интегралов при близких к единице значениях их модуля. Однако метод, который последует далее, представляет собой более непосредственное применение электрических принципов.
Первое приближение
Пусть радиусы окружностей равны 𝑎 и 𝑎+𝑐, а расстояние между их плоскостями равно 𝑏; тогда кратчайшее расстояние между дугами окружностей равно 𝑟=√𝑐²+𝑏².
Мы должны найти поток магнитной индукции сквозь одну из окружностей, обусловленный единичным током, протекающим по другой окружности.
Мы начнём с предположения, что обе окружности лежат в одной плоскости. Рассмотрим малый элемент δ𝑠 окружности, радиус которой равен 𝑎+𝑐. В точке, находящейся в плоскости окружности на расстоянии ρ от середины δ𝑠 и в направлении, образующим с направлением δ𝑠 угол θ, магнитная сила, обусловленная элементом δ𝑠, перпендикулярна плоскости окружности и равна (1/ρ²) sin θδ𝑠.
Чтобы вычислить поверхностный интеграл от этой силы по поверхности, лежащей внутри окружности радиуса 𝑎, мы должны найти значение интеграла
2δ𝑠
π/2
∫
θ₁
𝑟₁
∫
𝑟₂
sin θ
ρ
𝑑θ
𝑑ρ
,
где 𝑟₁ и 𝑟₂ являются корнями уравнения
𝑟²
-
2(𝑎+𝑐)
sin θ𝑟
+
𝑐²
+
2𝑎𝑐
=
0,
а именно
𝑟₁
=
(𝑎+𝑐)
sin θ
+
√
(𝑎+𝑐)²sin²θ-𝑐²-2𝑎𝑐
,
𝑟₂
=
(𝑎+𝑐)
sin θ
-
√
(𝑎+𝑐)²sin²θ-𝑐²-2𝑎𝑐
,
и
sin²θ₁
=
𝑐²+𝑎𝑐
(𝑐+𝑎)²
.
Когда 𝑐 мало по сравнению с 𝑎, мы можем положить
𝑟₁
=
2𝑎sin θ,
𝑟₂
=
𝑐/sin θ.
Интегрируя по ρ, имеем
2δ𝑠
½π
∫
θ₁
ln
⎛
⎜
⎝
2𝑎
𝑐
sin²θ
⎞
⎟
⎠
⋅
sinθ
𝑑θ
=
=
2δ𝑠
⎡
⎢
⎣
cosθ
⎧
⎨
⎩
2-ln
⎛
⎜
⎝
2𝑎
𝑐
sin²θ
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
+
2ln tg
θ
2
⎤
⎥
⎦
½π
θ₁
=
=
2δ𝑠
⎛
⎜
⎝
ln
8𝑎
𝑐
-2
⎞
⎟
⎠
(приближённо).
Таким образом, для всей индукции получаем
𝑀
𝑎𝑐
=
4π𝑎
⎛
⎜
⎝
ln
8𝑎
𝑐
-2
⎞
⎟
⎠
.
Так как магнитная сила в произвольной точке, расстояние от которой до искривлённого провода мало по сравнению с его радиусом кривизны, приблизительно такая же, что и магнитная сила прямого провода, мы можем (п. 684) подсчитать разность между потоком индукции через окружность радиуса 𝑎-𝑐 и окружность 𝐴 по формуле
𝑀
𝑎𝐴
-
𝑀
𝑎𝑐
=
4π𝑎
{ln 𝑐-ln 𝑟}.
Откуда приближённо при условии, что радиус 𝑟 мал по сравнению с 𝑎, находим величину потока индукции между 𝐴 и 𝑎:
𝑀
𝐴𝑎
=
4π𝑎
(ln 8𝑎-ln 𝑟-2).
705. Поскольку взаимная индукция между двумя витками одной и той же катушки представляет собой весьма важную величину для расчётов экспериментальных результатов, я опишу сейчас метод, с помощью которого приближение к 𝑀 для данного случая может быть осуществлено с любой требуемой степенью точности.
Мы будем предполагать, что величина 𝑀 представлена в виде
𝑀
=
4π
⎧
⎨
⎩
𝐴 ln
8𝑎
𝑟
+
𝐵
⎫
⎬
⎭
,
где
𝐴
=
𝑎
+
𝐴₁𝑥
+
𝐴₂
𝑥²
𝑎
+
𝐴₂'
𝑦²
𝑎
𝐴₃
𝑥³
𝑎²
+
𝐴₃'
𝑥𝑦²
𝑎²
+…
+
𝑎
-(𝑛-1)
{
𝑥
𝑛
𝐴
𝑛
+
𝑥
𝑛-2
𝑥²𝐴'
𝑛
+
𝑥
𝑛-4
𝑥⁴𝐴''
𝑛
+…}
+…
и
𝐵
=
-2𝑎
+
𝐵₁𝑥
+
𝐵₂
𝑥₂
𝑎
+
𝐵₂'
𝑦²
𝑎
+
𝐵₃
𝑥³
𝑎²
+
𝐵₃'
𝑥𝑦²
𝑎²
+… ,
𝑎 и 𝑎+𝑥 - радиусы окружностей, а 𝑦 - расстояние между их плоскостями.
Нам нужно определить значения коэффициентов 𝐴 и 𝐵. Очевидно, что они могут содержать только чётные степени 𝑦, потому что при изменении знака 𝑦 величина 𝑀 должна остаться неизменной.
Другой набор условий мы получаем из свойства взаимности коэффициента индукции, который остаётся тем же самым независимо от того, какую из окружностей мы берём в качестве первичной. Поэтому величина 𝑀 должна остаться той же самой, когда в приведённых выше выражениях мы подставим 𝑎+𝑥 вместо 𝑎 и -𝑥 вместо 𝑥.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых сочетаниях 𝑥 и 𝑦, мы находим таким способом следующие условия взаимности:
𝐴₁
=
1-𝐴₁
,
𝐵₁
=
1-2-𝐵₁
,
𝐴₃
=
-𝐴₂-𝐴₃
,
𝐵₃
