=
1
3
-
1
2
𝐴₁+𝐴₂-𝐵₂-𝐵₃
,
𝐴₃'
=
-𝐴₂'-𝐴₃'
,
𝐵₃'
=
𝐴₂'-𝐵₂'-𝐵₃'
;
(-)
𝑛
𝐴
𝑛
=
𝐴₂
+
(𝑛-2)𝐴₃
+
(𝑛-2)(𝑛-3)
1⋅2
𝐴₄
+…+
𝐴
𝑛
,
(-)
𝑛
𝐵
𝑛
=-
1
𝑛
+
1
𝑛-1
𝐴₁
-
1
𝑛-2
𝐴₂
+…+
(-)
𝑛
𝐴
𝑛-1
+
+
𝐵₂
+
(𝑛-2)𝐵₃
+
(𝑛-2)(𝑛-3)
1⋅2
𝐵₄
+…+
𝐵
𝑛
.
Из общего уравнения для 𝑀, п. 703,
𝑑²𝑀
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑀
𝑑𝑦²
-
1
𝑎+𝑥
𝑑𝑀
𝑑𝑥
=
0
мы получаем другой ряд условий:
2𝐴₂
+
2𝐴'₂
=
𝐴₁
,
2𝐴₂
+
2𝐴'₂
+
6𝐴₃
+
2𝐴'₃
=
2𝐴₂
;
𝑛(𝑛-1)𝐴
𝑛
+
(𝑛-1)𝑛𝐴
𝑛+1
+
1⋅2𝐴'
𝑛
+
1⋅2𝐴'
𝑛+1
=
𝑛𝐴
𝑛
,
(𝑛-2)(𝑛-3)𝐴'
𝑛
+
(𝑛-1)(𝑛-2)𝐴'
𝑛+1
+
3⋅4𝐴''
𝑛
+
3⋅4𝐴''
𝑛+1
=
=
(𝑛-2)𝐴'
𝑛
, …;
4𝐴₂
+
𝐴₁
=
2𝐵₂
+
2𝐵'₂
-
𝐵₁
=
4𝐴'₂
,
6𝐴₃
+
3
𝐴₂
=
2𝐵'₂
+
6𝐵₃
+
2
𝐵'₃
=
6𝐴'₃
+
3𝐴'₂
,
(2𝑛-1)𝐴
𝑛
+
(2𝑛+2)𝐴
𝑛+1
=
(2𝑛-1)𝐴'
𝑛
+
(2𝑛+2)𝐴'
𝑛+1
=
=
𝑛(𝑛-2)𝐵
𝑛
+
(𝑛+1)𝑛𝐵
𝑛+1
+
1⋅2𝐵'
𝑛
+
1⋅2𝐵'
𝑛+1
.
Решая эти уравнения и подставляя значения коэффициентов, мы приводим ряд для 𝑀 к виду
𝑀
=
4π𝑎
ln
8𝑎
𝑟
⎧
⎨
⎩
1+
1
2
𝑥
𝑎
+
𝑥²+3𝑦²
16𝑎²
-
32𝑥³+3𝑥𝑦²
32𝑎³
+…
⎫
⎬
⎭
+
+
4π𝑎
⎧
⎨
⎩
-2-
1
2
𝑥
𝑎
+
3𝑥²-𝑦²
16𝑎²
-
𝑥³-6𝑥𝑦²
48𝑎³
+…
⎫
⎬
⎭
.
Как найти форму катушки, у которой при заданной длине и толщине провода коэффициент самоиндукции максимален
706. Опуская поправки, приведённые в п. 705, мы в соответствии с результата» ми п. 693 находим
𝐿
=
4π𝑛²𝑎
⎛
⎜
⎝
ln
8𝑎
𝑅
-2
⎞
⎟
⎠
,
где 𝑛 - число витков провода, 𝑎 - средний радиус катушки, 𝑅 - среднегеометрическое расстояние поперечного сечения катушки от самого себя, см. п. 691. Если это сечение всюду подобно самому себе, то расстояние 𝑅 пропорционально его линейным размерам, а 𝑛 меняется как 𝑅².
Так как полная длина провода равна 2π𝑎𝑛, то а меняется обратно пропорционально 𝑛. Следовательно,
𝑑𝑛
𝑛
=2
𝑑𝑅
𝑅
и
𝑑𝑎
𝑎
=-2
𝑑𝑅
𝑅
,
и мы находим условие, при котором 𝐿 может иметь максимум:
ln
8𝑎
𝑅
=
7
2
.
Если катушка имеет круговое поперечное сечение радиуса 𝑐, то, согласно п. 692,
ln
𝑅
𝑐
=-
1
4
,
и
ln
8𝑎
𝑐
=
13
4
,
откуда
𝑎
=
3,22𝑐
,
или, для того чтобы такая катушка имела максимальный коэффициент самоиндукции, её средний радиус должен превышать радиус поперечного сечения катушки в 3,22 раза. Этот результат был получен Гауссом 3.
3Werke, Göttingen edition, 1867, Bd. V, p. 622.
Если каркас, на который наматывается катушка, имеет квадратное поперечное сечение, средний диаметр катушки должен в 3,7 раз превышать сторону квадрата.
ГЛАВА XV
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРИБОРЫ
Гальванометры
707. Гальванометр - это прибор, позволяющий регистрировать или измерять электрический ток по его магнитному действию.
Когда этот прибор предназначен для обнаружения существования слабого тока, его называют чувствительным гальванометром.
Когда он предназначен для измерения тока в стандартных единицах с максимальной точностью, его называют эталонным гальванометром.
Все гальванометры основаны на принципе Швайгеровского умножителя (Schweigger’s Multiplier), в котором ток пропускается через провод, намотанный таким образом, чтобы он многократно проходил вокруг некоторой открытой области пространства, где подвешен магнит, и создавал в этой области электромагнитную силу, интенсивность которой измеряется при помощи магнита.
У чувствительных гальванометров катушка устроена таким образом, что её витки занимают положение, при котором они максимально воздействуют на магнит. Поэтому витки укладываются плотно друг к другу, чтобы быть ближе к магниту.
Эталонные гальванометры конструируются так, чтобы размеры и относительное положение всех неподвижных частей были бы точно известны, а небольшие неточности в определении положения подвижных частей вносили бы в расчёты возможно меньшую ошибку.
При создании чувствительного гальванометра мы стремимся сделать поле магнитной силы, в которое подвешивается магнит, по возможности более интенсивным. При конструировании эталонного гальванометра мы хотим сделать поле электромагнитной силы около магнита как можно более однородным и должны знать точное значение его интенсивности при заданной силе тока в катушке.
Об эталонных гальванометрах
708. В эталонном гальванометре сила тока должна быть определена через силу, с которой он воздействует на подвешенный магнит. Но распределение магнетизма внутри магнита, равно как и положение его центра в подвешенном состоянии, не могут быть установлены со сколько-нибудь высокой степенью точности. Поэтому необходимо сконструировать катушку так, чтобы она создавала поле силы, очень близкое к однородному во всей той области, где может находиться магнит при возможных перемещениях. Следовательно, размеры катушки должны в общем случае значительно превышать размеры магнита.
