𝐿
=
1
4π
{
(𝑏-β)γ
-
(𝑐-γ)β
},
(10)
=
1
4π
(𝑏γ-𝑐β)
,
(11)
где 𝑋 - сила в направлении оси 𝑥, отнесённая к единице объёма, а 𝐿 - момент сил (на единицу объёма) относительно этой оси.
Об объяснении этих сил с помощью гипотезы о наличии среды в напряжённом состоянии
641. Обозначим напряжение любого вида, отнесённое к единице площади, символом вида 𝑃ℎ𝑘, где первый индекс ℎ показывает, что нормаль к поверхности, на которую по предположению действует напряжение, параллельна оси ℎ, а второй индекс 𝑘 показывает, что направление напряжения, с которым действует часть тела, прилегающая к положительной стороне поверхности, на часть тела, прилегающую к отрицательной стороне, является направлением, параллельным оси 𝑘.
Направления ℎ и 𝑘 могут совпадать - в этом случае напряжение является нормальным. Они могут быть наклонены относительно друг друга - в этом случае напряжение является наклонным; наконец, могут быть перпендикулярны друг другу - в этом случае напряжение является тангенциальным.
Условие, при котором напряжения не создают никакого стремления к вращению элементарной части тела, есть 𝑃ℎ𝑘=𝑃𝑘ℎ.
Однако в случае намагниченного тела такая тенденция к вращению имеется, и, следовательно, это условие, справедливое в обычной теории напряжений, оказывается невыполненным.
Рассмотрим действие напряжения на шесть сторон элементарного объёма тела 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, взяв начало координат в его центре тяжести.
На положительную сторону поверхности 𝑑𝑦𝑑𝑧, где значение 𝑥 равно 𝑑𝑥/2, действуют силы:
параллельно
𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑃
𝑥𝑥
+
1
2
𝑑𝑃𝑥𝑥
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑋
+𝑥
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
параллельно
𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑃
𝑥𝑦
+
1
2
𝑑𝑃𝑥𝑦
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑌
+𝑥
,
параллельно
𝑧
⎛
⎜
⎝
𝑃
𝑥𝑧
+
1
2
𝑑𝑃𝑥𝑧
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
𝑍
+𝑥
.
(12)
Силы, действующие на противоположную сторону, -𝑋-𝑥, -𝑌-𝑦, -𝑍-𝑧 можно получить, сменив знак при 𝑑𝑥. Таким же способом мы можем выразить системы трёх сил, действующих на все остальные поверхности этого элемента, обозначая направление силы заглавной буквой, а поверхность, на которую она действует, индексом.
Если обозначить полную силу, действующую на элемент параллельно оси 𝑥, через 𝑋𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, то
𝑋𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
=
𝑋
+𝑥
+
𝑌
+𝑥
+
𝑍
+𝑥
+
𝑋
-𝑥
+
𝑌
-𝑥
+
𝑍
-𝑥
,
=
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑃𝑥𝑥
𝑑𝑥
+
𝑑𝑃𝑦𝑥
𝑑𝑦
+
𝑑𝑃𝑧𝑥
𝑑𝑧
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
,
откуда
𝑋
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑃
𝑥𝑥
+
𝑑
𝑑𝑦
𝑃
𝑦𝑥
+
𝑑
𝑑𝑧
𝑃
𝑧𝑥
.
(13)
Если 𝐿𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 является полным моментом сил относительно оси 𝑥, стремящимся повернуть элемент в направлении от 𝑦 к 𝑧, то
𝐿𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
=
1
2
𝑑𝑦
(𝑍
+𝑦
-𝑍
-𝑦
)
-
1
2
𝑑𝑧
(𝑌
+𝑧
-𝑌
-𝑧
)
,
=
(𝑃
𝑦𝑧
-𝑃
𝑧𝑦
)
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
,
откуда
𝐿
=
𝑃
𝑦𝑧
-𝑃
𝑧𝑦
.
(14)
Сравнивая значения 𝑋 и 𝐿, определяемые уравнениями (9) и (11), с теми, которые дают уравнения (13) и (14), мы находим, что, если положить
𝑃
𝑥𝑥
=
1
4π
⎧
⎨
⎩
𝑎α
-
1
2
(α²+β²+γ²)
⎫
⎬
⎭
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
𝑃
𝑦𝑦
=
1
4π
⎧
⎨
⎩
𝑏β
-
1
2
(α²+β²+γ²)
⎫
⎬
⎭
,
𝑃
𝑧𝑧
=
1
4π
⎧
⎨
⎩
𝑐γ
-
1
2
(α²+β²+γ²)
⎫
⎬
⎭
,
𝑃
𝑦𝑧
=
1
4π
𝑏γ
,
𝑃
𝑧𝑦
=
1
4π
𝑐β
,
𝑃
𝑧𝑥
=
1
4π
𝑐α
,
𝑃
𝑥𝑧
=
1
4π
𝑎γ
,
𝑃
𝑥𝑦
=
1
4π
𝑎β
,
𝑃
𝑦𝑥
=
1
4π
𝑏α
,
(15)
то сила, обусловленная системой напряжений с такими составляющими, по своим действиям на каждый элемент тела эквивалентна в статическом смысле силам, обусловленным намагниченностью и электрическими токами.
642. Легко установить природу напряжения с такими составляющими. Возьмём в качестве оси 𝑥 биссектрису угла между направлениями магнитной силы и магнитной индукции, а ось 𝑦 проведём в плоскости этих направлений, направив её в сторону магнитной силы.
Если мы положим, что численное значение магнитной силы равно ℌ, численное значение магнитной индукции равно 𝔅 и угол между их направлениями равен: 2ε, то
α
=
ℌ
cos ε
,
β
=
-ℌ
sin ε
,
γ
=
0,
⎫
⎬
⎭
𝑎
=
𝔅
cos ε
,
𝑏
=
-𝔅
sin ε
,
𝑐
=
0.
(16)
