𝔅
=
μℌ
,
(L)
где μ есть коэффициент магнитной проницаемости, который можно рассматривать либо как скалярную величину, либо как линейную векторную функцию, действующую на ℌ, в соответствии с тем, изотропна среда или нет.
615. Для рассматриваемых нами величин эти соотношения можно считать основополагающими. Их можно было бы скомбинировать так, чтобы исключить некоторые из величин. Однако сейчас наша задача состоит не в получении компактных математических формул, а в написании выражения для каждого соотношения, о котором мы что-либо знаем. На этой стадии исследования исключение любой величины, отражающей полезную идею, было бы скорее потерей, чем выигрышем.
Есть, однако, один очень важный результат, который мы можем получить, комбинируя уравнения (А) и (Е).
Если предположить, что в поле не существует никаких магнитов, кроме электрических контуров, то исчезнет различие между магнитной силой и магнитной индукцией, которое мы сохраняли до сих пор, потому что только в намагниченном веществе эти величины отличаются одна от другой.
Согласно гипотезе Ампера, которая будет пояснена в п. 833, свойства того, что мы называем намагниченным веществом, обусловлены молекулярными электрическими контурами, так что наша теория намагничивания применима только тогда, когда мы рассматриваем вещество в больших массах; если же считать, что наши математические методы могут учитывать также и явления, происходящие в пределах отдельных молекул, то они не откроют нам там ничего, кроме электрических контуров, и мы найдём, что магнитная сила и магнитная индукция повсюду совпадают. Однако для того, чтобы иметь возможность по своему желанию использовать либо электрическую, либо электромагнитную систему измерений, мы сохраним коэффициент μ, помня, что его значение равно единице в электромагнитной системе.
616. Составляющие магнитной индукции, согласно уравнениям (А) п. 591, равны
𝑎
=
𝑑𝐻
𝑑𝑦
-
𝑑𝐺
𝑑𝑧
,
𝑏
=
𝑑𝐹
𝑑𝑧
-
𝑑𝐻
𝑑𝑥
,
𝑐
=
𝑑𝐺
𝑑𝑥
-
𝑑𝐹
𝑑𝑦
.
Составляющие электрического тока, согласно уравнениям (Е) п. 607, равны
4π𝑢
=
𝑑γ
𝑑𝑦
-
𝑑β
𝑑𝑧
,
4π𝑣
=
𝑑α
𝑑𝑧
-
𝑑γ
𝑑𝑥
,
4π𝑤
=
𝑑β
𝑑𝑥
-
𝑑α
𝑑𝑦
.
Согласно нашей гипотезе, составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 равны соответственно μα, μβ и μγ. Поэтому мы получаем (при постоянном μ)
4πμ𝑢
-
𝑑²𝐺
𝑑𝑥𝑑𝑦
-
𝑑²𝐹
𝑑𝑦
-
𝑑²𝐹
𝑑𝑧
+
𝑑²𝐻
𝑑𝑥𝑑𝑦
.
(1)
Если записать
𝐽
=
𝑑𝐹
𝑑𝑥
+
𝑑𝐺
𝑑𝑦
+
𝑑𝐻
𝑑𝑧
,
(2)
и1
∇²
=
-
⎛
⎜
⎝
𝑑²
𝑑𝑥²
+
𝑑²
𝑑𝑦²
+
𝑑²
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
,
(3)
1 Отрицательный знак применяется здесь для того, чтобы сделать наши уравнения согласованными с уравнениями, в которых используются Кватернионы.
то мы можем написать уравнение (1):
4πμ𝑢
=
𝑑𝐽
𝑑𝑥
+
∇²𝐹
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
Аналогично
4πμ𝑣
=
𝑑𝐽
𝑑𝑦
+
∇²𝐺
,
4πμ𝑤
=
𝑑𝐽
𝑑𝑧
+
∇²𝐻
.
(4)
Обозначим
𝐹'
=
μ
∭
𝑢
𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
𝐺'
=
μ
∭
𝑣
𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
𝐻'
=
μ
∭
𝑤
𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(5)
ϰ
=
1
4π
∭
𝐽
𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(6)
где 𝑟 - расстояние до данной точки от элемента (𝑥,𝑦,𝑧), а интегрирование распространяется на всё пространство; тогда
𝐹
=
𝐹'
-
𝑑ϰ
𝑑𝑥
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
𝐺
=
𝐺'
-
𝑑ϰ
𝑑𝑦
,
𝐻
=
𝐻'
-
𝑑ϰ
𝑑𝑧
,
(7)
Величина ϰ исчезает из уравнений (А) и не имеет отношения ни к какому физическому явлению. Если предположить, что она всюду равна нулю, то величина 𝐽 также будет везде равна нулю. Тогда уравнения (5) (с опущенными штрихами) дадут правильные значения составляющих 𝔄.
617. Поэтому мы можем принять в качестве определения 𝔄, что это есть вектор-потенциал электрического тока, так же связанный с электрическим током, как скалярный потенциал связан с материей, потенциалом которой он является, и что этот потенциал находится с помощью аналогичной процедуры интегрирования, которую можно описать так.
Пусть из данной точки проведён вектор, по величине и направлению представляющий заданный элемент тока, делённый на численное значение расстояния до этого элемента от данной точки. Пусть это проделано для каждого элемента электрического тока. Результирующая всех полученных таким образом векторов является потенциалом всего тока. Поскольку ток - величина векторная, его потенциал также является вектором, см. п. 422.
Когда задано распределение электрических токов, то существует одно и только одно распределение величины 𝔄, такое, при котором 𝔄 всюду конечно, непрерывно, удовлетворяет уравнениям
∇²𝔄
=
4πμℭ
,
𝑆.∇𝔄
=
0
и исчезает на бесконечном расстоянии от электрической системы. Это та самая величина, которая даётся уравнениями (5), допускающими запись в кватернионной форме:
𝔄
=
μ
∭
ℭ
𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Кватернионные выражения для электромагнитных уравнений
618. Мы старались избегать в этом трактате каких-либо операций, требующих от читателя знания кватернионного исчисления. В то же время там, где это было необходимо, мы, не колеблясь, вводили понятие вектора, и когда у нас возникала возможность обозначить вектор каким-либо одним символом, мы прибегали к готическим буквам. Число различных векторов получилось столь большим, что символы, излюбленные Гамильтоном, оказались бы сразу же исчерпанными. Поэтому любая готическая буква, где бы она ни использовалась, означает гамильтоновский вектор и указывает не только на его величину, но и на его направление.
Составляющие же вектора обозначаются латинскими или греческими буквами.
